Открыть главное меню

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Содержание

ОпределениеПравить

 
 
 
 

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

  • гиперболический синус:
 

(в англоязычной литературе обозначается  )

  • гиперболический косинус:
 

(в англоязычной литературе обозначается  )

  • гиперболический тангенс:
 

(в англоязычной литературе обозначается  )

  • гиперболический котангенс:
 

(в англоязычной литературе обозначается  )

  • гиперболический секанс:
 

Гиперболический секанс иногда также обозначается как  .

  • гиперболический косеканс:
 

Геометрическое определениеПравить

 
Определение гиперболических функций через гиперболу
 
Параметризация гиперболического синуса (анимация).

Ввиду соотношения   гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы   ( ,  ). При этом аргумент  , где   — площадь криволинейного треугольника  , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси  , и «−» в противоположном случае. Очевидно, что и гиперболические функции определяются через этот параметр, например, уравнения гиперболического синуса в параметрической форме:  , где   — ордината точки гиперболы, соответствующей площади  . Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

СвойстваПравить

Связь с тригонометрическими функциямиПравить

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

 .

 .

Функция Гудермана связывает тригонометрические функции и гиперболические функции без привлечения комплексных чисел.

Важные соотношенияПравить

  1.  
  2. Чётность/нечётность:
    1.  
    2.  
    3.  
  3. Формулы сложения:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
  4. Формулы двойного угла:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
    5.  
    6.  
  5. Формулы кратных углов:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
    5.  
    6.  
  6. Произведения:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
  7. Суммы:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
  8. Формулы понижения степени:
    1.  
    2.  
  9. Производные:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
  10. Интегралы:
    См. также: Список интегралов от гиперболических функций, Список интегралов от обратных гиперболических функций
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
    5.  
    6.  
    7.  
    8.  
  11. Представление через гиперболический тангенс половинного угла:
    1.  
    2.  
    3.  
    4.  
    5.  
    6.  

НеравенстваПравить

Для всех   выполняется:

  1.  
  2.  

Разложение в степенные рядыПравить

 
 
 
  (Ряд Лорана)
 

Здесь  числа Бернулли,  числа Эйлера.

ГрафикиПравить

 
sh(x), ch(x), th(x), cth(x)
 
sh, ch и th
 
csch, sech и cth

Аналитические свойстваПравить

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках  , где   — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек  , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функцииПравить

Иначе называются ареа-функциями: к названиям соответствующих гиперболических функций добавляется префикс «ареа-» — от лат. «area» — «площадь». Главные значения ареа-функций определяются следующими выражениями.

  •   — обратный гиперболический синус, ареа-синус.
  •   — обратный гиперболический косинус, ареа-косинус.
  •   — обратный гиперболический тангенс, ареа-тангенс.
  •   — обратный гиперболический котангенс, ареа-котангенс.
  •   — обратный гиперболический секанс, ареа-секанс. Заметим, что решение   также удовлетворяет уравнению  , однако главные значения ареа-функций являются однозначными функциями.
  •   — обратный гиперболический косеканс, ареа-косеканс.

ГрафикиПравить

 
arsh(x), arch(x), arth(x), arcth(x)

Связь между некоторыми обратными гиперболическими и обратными тригонометрическими функциями:

 
 
 
 

где i — мнимая единица.

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

 
 
 

В зарубежной литературе обратные гиперболические функции часто обозначают посредством знака минус первой степени: например,   пишут как   (причём   обозначает другую функцию —  ), и т. д.

ИсторияПравить

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил Винченцо Риккати в 1757 году («Opusculorum», том I), он же предложил их обозначения:  ,  . Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы (см. рисунок в разделе #Определение).

Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н. И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой круговая тригонометрия заменяется на гиперболическую.

В обозначениях гиперболических функций утвердился некоторый разнобой. Например, в Энциклопедии Брокгауза и Эфрона используются обозначения  ,  , в русскоязычной литературе закрепились обозначения  , в англоязычной закрепились  .

ПрименениеПравить

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Аналогично тому, как матрицы вида   описывают повороты двумерного евклидова пространства, матрицы   описывают повороты в простейшем двумерном пространстве Минковского. В связи с этим гиперболические функции часто встречаются в теории относительности.

Однородная веревка или цепочка, свободно подвешенная за свои концы, приобретает форму графика функции   (в связи с чем график гиперболического косинуса иногда называют цепной линией). Это обстоятельство используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее эффективно распределяет нагрузку.

ЛитератураПравить

  • Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. — Москва: Наука, 1985. — С. 464.
  • Шерватов В. Г. Гиперболические функции.. — Гостехиздат, 1954. — 58 с. — (Популярные лекции по математике). — 25 000 экз.
  • А. Р. Янпольский. Гиперболические функции. — Москва, 1960. — 195 с.

СсылкиПравить