Открыть главное меню

Обратные гиперболические функции

(перенаправлено с «Гиперболический ареатангенс»)

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции или ареа-функции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x2 + y2 = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т.д., хотя такие обозначения являются, строго говоря, ошибочными, так как префикс arc является сокращением от arcus (дуга) и потому относится только к обратным тригонометрическим функциям, тогда как ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т.д. и названия обратный гиперболический синус, ареасинус и т.д. Также применяют[1] названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т.д., но слово «гиперболический» здесь является лишним, поскольку на принадлежность функции семейству обратных гиперболических функций однозначно указывает префикс «ареа». Иногда названия соответствующих функций записывают через дефис: ареа-синус, ареа-косинус и т.д.

В комплексной плоскости гиперболические функции являются периодическими, а обратные им функции — многозначными. Поэтому подобно обратным тригонометрическим функциям обозначения ареафункций принято записывать с большой буквы, если подразумевается множество значений функции (логарифм в соответствующем определении функции также понимается как общее значение логарифма, обозначаемое Ln). С маленькой буквы записываются главные значения соответствующих функций.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

Название функции Обозначение в русской литературе Обозначение в английской литературе
ареасинус arsh arsinh, sinh−1
ареакосинус arch arcosh, cosh−1
ареатангенс arth artanh, tanh−1
ареакотангенс arcth arcoth, coth−1
ареасеканс arsch, arsech arsech, sech−1
ареакосеканс arcsch arcsch, csch−1

Определения функцийПравить

 
Ареасинус для действительного аргумента
 
Ареакосинус для действительного аргумента
 
Ареатангенс для действительного аргумента
 
Ареакотангенс для действительного аргумента
 
Ареасеканс для действительного аргумента
 
Ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости главные значения функций можно определить формулами:

  • ареасинус
 
  • ареакосинус
 
  • ареатангенс
 
  • ареакотангенс
 
  • ареасеканс
 
  • ареакосеканс
 

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть   если представить комплексное число z как   при  ), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например   которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Разложение в рядПравить

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

 
 
 
 
 
 

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

 

ПроизводныеПравить

 

Для действительных x:

 

Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

 

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функцийПравить

 

Дополнительные формулыПравить

 
 
 
 
 

См. такжеПравить

ИсточникиПравить

  1. М.Я. Выготский. Справочник по высшей математике. — Наука, 1963. — С. 594. — 873 с.
  • Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

СсылкиПравить