Гиперкубические соты

Square tiling uniform coloring 1.png
Правильная квадратная мозаика.
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
1 color
Partial cubic honeycomb.png
Кубические соты[en]* в их регулярной форме.
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
1 color
Square tiling uniform coloring 7.png
Шахматная квадратная мозаика
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
2 цвета
Bicolor cubic honeycomb.png
Шахматные кубические соты[en]*.
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
2 цвета
Square tiling uniform coloring 8.png
Растянутая квадратная мозаика
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
3 цвета
Runcinated cubic honeycomb.png
Растянутые кубические соты
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.png
4 цвета
Square tiling uniform coloring 9.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
4 цвета
Cubic 8-color honeycomb.png
CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node 1.png
8 цветов

Гиперкуби́ческие соты — семейство правильных сот (замощений) в пространстве размерности с символами Шлефли , имеющих симметрию группы Коксетера (или ) для .

Соты строятся из четырёх -мерных гиперкубов на каждой -мерной грани. Вершинной фигурой является гипероктаэдр .

Гиперкубические соты являются самодвойственными.

Коксетер, Гарольд назвал это семейство (для -мерных сот).

Классы построения Витхоффа по размерностиПравить

Имеется два основных вида гиперкубических сот, правильная форма с идентичными фасетами гиперкубов и полуправильная с чередующимися фасетами, наподобие шахматной доски.

Третья форма образуется путём операции растяжения, применённой к правильной форме. В результате растяжения создаются фасеты на месте всех элементов меньшей размерности. Например, растянутые кубические соты имеют кубические ячейки с центрами исходных кубов, на исходных фасетах, на исходных рёбрах и на исходных вершинах, создавая тем самым ячейки 4-х цветов вокруг каждой вершины с соотношением 1:3:3:1.

Прямоугольные соты — это семейство топологически эквивалентных кубическим сот, но имеющих меньшую степень симметрии. В этих сотах каждое из трёх направлений может иметь отличную от других длину. Фасеты являются гиперпрямоугольниками (на плоскости это прямоугольники, а в трёхмерном пространстве — прямоугольные параллелепипеды).

δn Название Символы Шлефли Диаграммы Коксетера — Дынкина
Прямоугольные
{∞}n
(2m цветов, m<n)
Правильные
(Растянутые)
{4,3n-1,4}
(1 цвет, n цветов)
Шахматные
{4,3n-4,31,1}
(2 цвета)
δ2 Апейрогон {∞}       
δ3 Квадратная мозаика {∞}2
{4,4}
           
     
     
δ4 Кубические соты[en]* {∞}3
{4,3,4}
{4,31,1}
                
       
     
δ5 Кубические 4-мерные соты[en] {∞}4
{4,32,4}
{4,3,31,1}
                     
         
       
δ6 Кубические 5-мерные соты[en] {∞}5
{4,33,4}
{4,32,31,1}
                          
           
         
δ7 Кубические 6-мерные соты[en] {∞}6
{4,34,4}
{4,33,31,1}
                               
             
           
δ8 Кубические 7-мерные соты[en] {∞}7
{4,35,4}
{4,34,31,1}
                                    
               
             
δ9 Кубические 8-мерные соты[en] {∞}8
{4,36,4}
{4,35,31,1}
                                         
                 
               
 
δn Кубические n-мерные соты {∞}n
{4,3n-3,4}
{4,3n-4,31,1}
...

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • H.S.M. Coxeter. Regular Polytopes. — 3rd. — Dover edition, 1973. — ISBN 0-486-61480-8.
    1. стр. 122–123, 1973. (Решётка гиперкубов γn образует кубические соты δn+1)
    2. стр. 154–156: Частично усечённые или альтернированные, представленные префиксом h: h{4,4}={4,4}; h{4,3,4}={31,1,4}, h{4,3,3,4}={3,3,4,3}
    3. стр. 296, Таблица II: Правильные соты, δn+1