Гипероктаэдр

Гиперокта́эдргеометрическая фигура в n-мерном евклидовом пространстве: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб[1], ортоплекс, кросс-политоп.

Символ Шлефли n-мерного гипероктаэдра — {3;3;...;3;4}, где всего в скобках (n-1) число.

Гипероктаэдр можно понимать как шар в метрике городских кварталов.

Частные случаиПравить

Число измерений n Название фигуры Символ Шлефли Изображение
1 отрезок {}  
2 квадрат {4}  
3 октаэдр {3;4}  
4 шестнадцатиячейник {3;3;4}  
5 5-ортоплекс {3;3;3;4}  

ОписаниеПравить

 -мерный гипероктаэдр имеет   вершин; любая вершина соединена ребром с любой другой — кроме (при   вершины, симметричной ей относительно центра политопа.

Все его  -мерные гиперграни   — одинаковые правильные симплексы; их число равно  

Угол между двумя смежными  -мерными гипергранями (при   равен  .

 -мерный гипероктаэдр   можно представить как две одинаковых правильных  -мерных пирамиды, приложенные друг к другу своими основаниями в форме  -мерного гипероктаэдра.

В координатахПравить

 -мерный гипероктаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты       При этом каждая из   его  -мерных гиперграней будет располагаться в одном из   ортантов  -мерного пространства.

Начало координат   будет центром симметрии политопа, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер.

Поверхность гипероктаэдра будет геометрическим местом точек   чьи координаты удовлетворяют уравнению

 

а внутренность — геометрическим место точек, для которых

 

Метрические характеристикиПравить

Если  -мерный гипероктаэдр   имеет ребро длины   то его  -мерный гиперобъём и  -мерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

 
 

Радиус описанной  -мерной гиперсферы (проходящей через все вершины) при этом будет равен

 

радиус  -й полувписанной гиперсферы (касающейся всех  -мерных гиперграней в их центрах;  ) —

 

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех  -мерных гиперграней в их центрах) —

 

ПримечанияПравить

СсылкиПравить