Открыть главное меню

В математике гиперопера́тор — это обобщение традиционных операторов (арифметических операций сложения, умножения и возведения в степень, рассматриваемых как гипероператоры 1-го, 2-го и 3-го порядка соответственно), на высшие порядки. В общем случае, из-за некоммутативности гипеоператор имеет две обратные функции — гиперкорень (например Суперкорень для 4-го порядка) и гиперлогарифм (Суперлогарифм).

Содержание

ИсторияПравить

В 1928 году ученик Давида Гильберта, математик Вильгельм Аккерман опубликовал в качестве примера всюду определённой, не являющейся примитивно рекурсивной вычислимой функцию от трёх аргументов  , такую, что для   она определяла операции сложения, умножения и возведения в степень соответственно:

 ;

 ;

 .

С 1976 года, после публикации стрелочной нотации Кнута, оригинальную функцию Аккермана стало возможным записать в более удобном виде:

 .[1]

Помимо её исторической роли как первой всюду определённой не примитивно рекурсивной вычислимой функции, оригинальная функция Аккермана расширяла основные арифметические операции за возведение в степень, хотя и не так хорошо, как специально предназначенные для этого функции вроде последовательности гипероператоров Гудстейна.[2]

ОпределениеПравить

Гипероператор порядка   с аргументами   и   (далее обозначаемый как  ) рекурсивно определяется как результат многократного применения гипероператора порядка   к последовательности из   одинаковых аргументов, (начиная с умножения, каждый из которых равен  ):

  • сложение   и   — увеличение числа   на количество единиц, равное  :
 
  • умножение   на   — сложение числа   с самим собой   раз:  
  • возведение a в степень b — умножение числа   на само себя   раз:  
  •  
  •  

В последнем выражении операции выполняются справа налево, что является существенным, так как гипероператоры порядка   не являются ни коммутативными, ни ассоциативными. Гипероператоры 4-го, 5-го и 6-го порядка называются «тетра́ция», «пента́ция» и «гекса́ция» соответственно.

В простейшем случае значения переменных  ,   и   ограничиваются натуральными числами. Возможные обобщения гипероператоров   на произвольные действительные или комплексные числа пока мало изучены.

Разные математики обозначают гипероператоры по разному:

В итоге получаем: 

Обобщение первых трёх операций (сложение, умножение, возведение в степень) в инфиксной форме имеет вид:

 

Тогда гипероператор определяется как   и  

Распишем для первых натуральных четырёх n:

 

 

 

 

Обратные операцииПравить

Как уже говорилось выше, в силу некоммутативности (в общем случае) гипероператор имеет две обратные функции — гиперкорень и гиперлогарифм.

В силу коммутативности, гиперкорень и гиперлогарифм сложения совпадают и образуют вместе обратную операцию сложения — вычитание.

Точно так же совпадают обратные операции умножения, образуя одну обратную операцию умножения — деление.

Уже для возведения в степень обратные функции становятся различными (корень и логарифм).

Обратные операции обобщаются для гипероператора любого порядка.

Альтернативные операцииПравить

Вычисление слева направоПравить

Альтернативная операция может быть получена путём вычисления слева направо и в силу коммутативности и ассоциативности операций сложения и умножения эта операция совпадает с Гипероператором при  :

  •  
  •  
  •  

Для гипероператора   вычисление слева направо (то есть альтернативная операция) отличается от гипероператора и проводит к другому результату, например, для   получим гипероператор тетрацию:  .

Но вычисление степенной башни слева направо приведёт к неверному итогу:  .

ПримечанияПравить

  • Эвнин А. Ю. Сверхстепени и их разности // Математическое образование. — 2001. — № 1(16). — С. 68-73.
  • Шустов В. В. Общее числовое действие и некоторые его свойства. — 2008. — 64 с. — ISBN 978-5-382-00546-1.
  1. Cristian Calude, Solomon Marcus, Ionel Tevy. The first example of a recursive function which is not primitive recursive // Historia Mathematica. — 1979-11. — Т. 6, вып. 4. — С. 380–384. — ISSN 0315-0860. — DOI:10.1016/0315-0860(79)90024-7.
  2. Функция Аккермана (рус.) // Википедия. — 2017-12-31.

См. такжеПравить