Открыть главное меню
Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство: параллелей, меридианов и гипермеридианов.
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.
Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

Гиперсфера (от др.-греч. ὑπερ- «сверх-» + σφαῖρα «шар») — гиперповерхность в -мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

  • при гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
  • при она представляет собой окружность;
  • при гиперсфера является сферой.
  • при гиперсфера является 3-сферой.
  • при гиперсфера является 4-сферой.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является -мерным подмногообразием в -мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

УравненияПравить

Гиперсфера радиуса   с центром в точке   задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

 

Гиперсферические координатыПравить

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

 
 

а сферические координаты так:

 
 
 

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

 
 
 
 
 

где   и  .

Якобиан этого преобразования равен

 

Площадь и объёмПравить

 
Площадь поверхности гиперсферы в пространстве размерности x единичного радиуса в зависимости от x.
 
Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

В  -мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности   её площадь поверхности   и объём  , ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам[1][2]:

 
 

где

 

а   — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

 
 

Здесь   — двойной факториал.

Так как

 
 

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

 

а площади их поверхностей соотносятся как

 

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для   и  , соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе
Размерность 1 (длина) 2 (площадь) 3 (объём) 4 5 6 7 8
Единичная

сфера ( )

               
Десятичная

запись

6.2832 12.5664 19.7392 26.3189 31.0063 33.0734 32.4697 29.6866
Единичный

шар ( )

               
Десятичная

запись

2.0000 3.1416 4.1888 4.9348 5.2638 5.1677 4.7248 4.0587

В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для  -мерного шара размерность его «объёма» также равна  , а размерность его «площади» —  .

Следует отметить, что отношение объема  -мерного шара   к объему описанного вокруг него  -куба   быстро уменьшается с ростом  , быстрее, чем  .

Топология гиперсферыПравить

В данном разделе под сферой   будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром   — n-мерный гипершар, то есть  ,  .

  • Сфера   гомеоморфна факторизации шара   по его границе.
  • Шар   гомеоморфен факторизации  .
  • Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных   и  . Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая   вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные  , и сферу  , являющуюся их общей границей.

ПримечанияПравить

  1. Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — М.: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы
  2. Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса

См. такжеПравить

СсылкиПравить