Открыть главное меню

Гипотеза Андрицы

(а) Функция для первых 100 простых.
(б) Функция для первых 200 простых.
(в) Функция для первых 500 простых.
Графическое свидетельство в поддержку гипотезы Андрицы для первых (а) 100, (б) 200 и (в) 500 простых чисел. Функция всегда меньше 1.

Гипотеза Андрицыгипотеза относительно интервалов между простыми числами, согласно которой неравенство:

выполняется для всех , где является простым числом. Если означает интервал, то гипотезу Андрицы можно переписать как:

.

Сформулирована румынским математиком Дорином Андрицей в 1986 году[1].

Эмпирическое подтверждениеПравить

В начале 2000-х годов с использованием данных о наибольших интервалах простых чисел гипотеза проверена вплоть до  [2]. Используя таблицу максимальных интервалов и неравенство для интервалов, можно расширить значение подтверждения вплоть до  .

Существует графическая иллюстрация гипотезы: для дискретной функции   (функции Андрицы) наибольшее значение наблюдается в точке   со значением  , и бóльших значений нет среди первых 105 простых чисел. Поскольку функция Андрицы асимптотически убывает по мере возрастания  , гипотеза с большой вероятностью верна, но остаётся недоказанной.

ОбобщенияПравить

В качестве обобщения гипотезы Андрицы рассматривается следующее равенство:

 

где   —  -ое простое, а   может быть любым положительным (вещественным) числом.

Наибольшее возможное решение по   находится при  , когда  . Есть гипотеза, что наименьшее значение   равно  [3], которое находится при   .

Эта гипотеза формулируется в виде неравенства, обобщающего гипотезу Андрицы:

  для  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Andrica, 1986, с. 44–48.
  2. Wells, 2005, с. 13.
  3. последовательность A038458 в OEIS

ЛитератураПравить

СсылкиПравить