Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия, за решение которой институтом Клэя предложен приз в $1 млн.

Синий график для уравнения , где  — количество точек на кривой по модулю .
находится в пределах первых 100000 простых чисел. Шкала абсцисс — ; шкала ординат изображена в логарифмическом масштабе. Гипотеза предсказывает, что график должен сходиться к линии, наклон которой равен рангу данной кривой. В случае ранг кривой равен 1. Красным цветом нарисована линия с наклоном 1.

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах[1]Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг эллиптической кривой над полем равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля в точке . Точнее, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел , где значение зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Исходя из данных численных экспериментов предположено[2] , что верна асимптотика

где  — число целых точек на кривой с рангом по модулю ,  — константа.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых[en].

Наиболее важные результатыПравить

В 1977 году Джон Коутс[en] и Эндрю Уайлс доказали утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая   содержит бесконечно много рациональных точек, то  .

В 1986 году Бенедикт Гросс и Дон Цагир показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при  , то она имеет рациональную точку бесконечного порядка (теорема Гросса – Цагира);

В 1989 году Виктор Колывагин показал, что модулярная эллиптическая кривая  , для которой   не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая  , для которой   имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.

В 1991 году Карл Рубин показал, что для эллиптических кривых, определённых над мнимым квадратичным полем   с комплексным умножением на  , если  -ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то p-часть группы Тейта — Шафаревича имела предсказанный порядок по гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел  .

В 1999 году Кристоф Брёйль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор доказали теорему о модулярности (что все эллиптические кривые, определённые над рациональными числами, являются модульными), это распространяет результаты #2 и #3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что  -функции всех эллиптических кривых над   определены при s = 1.

В 2015 году Арул Шанкар и Манджул Бхаргава доказали, что средний ранг группы Морделла – Вейля[en] для эллиптической кривой над   ограничен сверху величиной 7/6.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
  • Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
  • Бёрч, Брайан; Свиннертон-Дайер, Питер (1965). “Notes on Elliptic Curves (II)”. J. Reine Angew. Math. 165 (218): 79—108. DOI:10.1515/crll.1965.218.79.