Открыть главное меню

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия (за её решение институтом Клэя предложен приз в $1 млн.)

Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре (решена)
Гипотеза Римана
Решение уравнений
квантовой теории
Янга — Миллса
Существование и гладкость 
решений уравнений
Навье — Стокса
Гипотеза
Бёрча — Свиннертон-Дайера
Синий график для уравнения , где — количество точек на кривой по модулю .
находится в пределах первых 100000 простых чисел. Шкала абсцисс — ; шкала ординат изображена в логарифмическом масштабе. Гипотеза предсказывает, что график должен сходиться к линии, наклон которой равен рангу данной кривой. В случае ранг кривой равен 1. Красным цветом нарисована линия с наклоном 1.

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах[1]Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг эллиптической кривой над полем равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля в точке . Более детально, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел , где значение зависит от тонких арифметических инвариантов кривых.

Наиболее важным частным результатом по состоянию на 2011 год остаётся доказанное в 1977 году Джоном Коутсом и Эндрю Уайлсом утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая содержит бесконечно много рациональных точек, то .

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых[en].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
  • Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.