Открыть главное меню

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

ПредысторияПравить

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения  , связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней   уравнение   не имеет решения в натуральных числах  .

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнение

 

не имеет решения в натуральных числах, если  , за исключением тривиального случая, когда корни в левой части уравнения являются перестановкой корней в правой части уравнения. Такие уравнения можно обозначить тройками чисел  [1].

В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для   контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера[2]:

 

Для   первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году.[3] Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково:

 

Однако для   гипотеза Эйлера остаётся открытой.

ГипотезаПравить

В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж (англ.) предположили[4], что уравнение

 

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если  .

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая   и отсутствие решений для  .

Поиск решений уравнений   для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для  , но и для  . Поиском решений для различных   занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet[5] и yoyo@home.

Известные решения для (k, m, n), k = m + nПравить

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:[6]

(4, 2, 2)Править

 , бесконечно много решений.

(4, 1, 3)Править

 , бесконечно много решений.

(5, 1, 4)Править

 , известно 2 решения.

(5, 2, 3)Править

 , известно 1 решение.

(6, 3, 3)Править

 , известно 10 решений.

(8, 3, 5)Править

 , известно 1 решение.

(8, 4, 4)Править

 , известно 1 решение.

Некоторые решения для (k, k, 1)Править

k = 3Править

  .

k = 4Править

  (R. Norrie, 1911)[4]

k = 5Править

  (Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)[4]

k = 6Править

Решения неизвестны.

k = 7Править

  (M. Dodrill, 1999)

k = 8Править

  (Scott Chase, 2000)

k ≥ 9Править

Решения неизвестны.

ПримечанияПравить

  1. Сам Эйлер рассматривал только случай (k, m, 1).
  2. L. J. Lander, T. R. Parkin. Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1966. — Vol. 72. — P. 1079. — DOI:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.
  3. Noam Elkies. On A4 + B4 + C4 = D4 (рум.) // Mathematics of Computation (англ.). — 1988. — Т. 51, nr. 184. — P. 825—835. — DOI:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9.
  4. 1 2 3 L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; Parkin; Selfridge. A Survey of Equal Sums of Like Powers (англ.) // Mathematics of Computation (англ.) : journal. — 1967. — Vol. 21, no. 99. — P. 446—459. — DOI:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.
  5. EulerNet
  6. Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

ЛитератураПравить

СсылкиПравить