Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификации чисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Была сформулирована К. Малером в 1932 г.[1] Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.[2][3]

Формулировка править

Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномов   при значениях аргумента  , являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированных  . Назовем высотой полинома величину   и предположим, что она возрастает. Обозначим  . Здесь минимум берется по всем целочисленным полиномам   степени не более  , высоты не более   и с условием  . Обозначим   . Пусть   — трансцендентное число. Введем обозначения:   — для вещественных чисел,   — для комплексных чисел,  , где  ,  , где  .

Гипотеза Малера утверждает, что  ,  [4].

Доказательство править

Доказательство есть в статье[3].

Примечания править

  1. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunction und des Logarithmus // I, II J. reine und angew. Math. — 1932. — v. 166. — С. 118—136, 137—150.
  2. Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы К. Малера о мере множества комплексных S-чисел // УМН. — 1964. — Т. 19, № 2. — С. 191—194.
  3. 1 2 Спринджук В. Г. Доказательство гипотезы Малера о мере множества S-чисел // Изв. АН СССР, сер. мат. — 1965. — Т. 29, № 2. — С. 379—436.— URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
  4. Спринджук, 1967, с. 11.

Литература править

  • Спринджук В. Г. Проблема Малера в метрической теории чисел. — Минск: Наука и техника, 1967. — 184 с.