Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях[1] — предположение в аддитивной комбинаторике, сформулированное Палом Эрдёшем, согласно которому в случае, если сумма обратных величин положительных натуральных чисел некоторого множества расходится, то множество содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Формально, если:

,

то есть  — большое множество (англ.), то содержит арифметическую прогрессию любой наперёд заданной длины.

Эрдёш обещал в своё время премию в 3 тыс. долларов США за доказательство гипотезы[2], по состоянию на 2008 год была установлена премия в 5 тыс. долларов США[3].

Связь с другими утверждениямиПравить

Следствия из гипотезыПравить

Гипотеза Эрдёша является обобщением теоремы Семереди (поскольку ряд   расходится как гармонический), а также теоремы Грина — Тао (поскольку сумма  , где суммирование ведётся по простым числам, также расходится[4]).

Утверждения, из которых следует гипотезаПравить

Ввиду эквивалентности расхождению  , гипотеза Эрдёша может быть доказана, если будет доказано, что  .

Однако на данный момент доказано только[5], что  , где  , а также, в частном случае  , что  .

ПримечанияПравить

  1. Гипотезу иногда путают с гипотезой Эрдёша — Турана (англ.)
  2. Bollobás, Béla. To Prove and Conjecture: Paul Erdős and His Mathematics (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1988. — March (vol. 105, no. 3). — P. 233.
  3. Soifer, Alexander (2008); The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of its Creators; New York: Springer. p. 354. ISBN 978-0-387-74640-1
  4. М. Айгнер, Г. Циглер, «Доказательства из книги» — М. «Мир», 2006, стр. 13
  5. Шкредов, 2006, с. 115—116.

СсылкиПравить

  • P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
  • P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35-58.
  • P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. DOI:10.1007/BF02579174
  • И. Д. Шкредов. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // УМН. — 2006. — Т. 61, вып. 6(372). — С. 111—178. — DOI:10.4213/rm5293.