Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях

Гипотеза Эрдёша об арифметических прогрессиях — предположение в аддитивной комбинаторике, сформулированное Палом Эрдёшем, согласно которому в случае, если сумма обратных величин положительных натуральных чисел некоторого множества расходится, то множество содержит сколь угодно длинные арифметические прогрессии.

Формально, если:

$\sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}=\infty$,

то есть $A$ — большое множество, то $A$ содержит арифметическую прогрессию любой наперёд заданной длины.

Эрдёш обещал в своё время премию в 3 тыс. долларов США за доказательство гипотезы, по состоянию на 2008 год была установлена премия в 5 тыс. долларов США.

Связь с другими утверждениями

Следствия из гипотезы

Гипотеза Эрдёша является обобщением теоремы Семереди (поскольку ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{kn}}={\frac {1}{k}}\left({\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}\right)$ расходится как гармонический), а также теоремы Грина — Тао (поскольку сумма $\sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}$, где суммирование ведётся по простым числам, также расходится).

Утверждения, из которых следует гипотеза

Ввиду эквивалентности расхождению $\sum \limits _{t=1}^{\infty }{{a_{k}}(4^{t})}$, гипотеза Эрдёша может быть доказана, если будет доказано, что $\forall k\geq 3:\ \forall \varepsilon >0:\ a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {N})^{1+\varepsilon }}}\right)$.

Однако на данный момент доказано только, что $a_{k}(N)=O\left({\frac {1}{(\log {\log {n}})^{c_{k}}}}\right)$, где $c_{k}=2^{-2^{k+9}}$, а также, в частном случае $k=3$, что $a_{3}(N)=O\left({\sqrt {\frac {\log {\log {N}}}{\log {N}}}}\right)$.

Ссылки

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres Архивная копия от 28 апреля 2016 на Wayback Machine, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
• P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35-58.
• P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28. doi:10.1007/BF02579174
• И. Д. Шкредов. Теорема Семереди и задачи об арифметических прогрессиях // УМН. — 2006. — Т. 61, вып. 6(372). — С. 111—178. — doi:10.4213/rm5293.