Открыть главное меню

Гипотеза фон Неймана — опровергнутая гипотеза о структуре аменабельных групп.

ФормулировкаПравить

ИсторияПравить

  • В 1929 году, во время его работы над парадоксом удвоения шара, Джон фон Нейман ввёл понятие аменабельной группы. Он доказал, что любая группа, содержащая свободную подгруппу ранга 2, не является аменабельной. Предположение о том, что верно и обратное, было сделано несколькими математиками в 1950-х и 1960-х годах.
    • Хотя эта гипотеза носит имя фон Неймана, первая публикация с её формулировкой дана Махлоном Маршем Дэйем в 1957 году.
  • Альтернатива Титса, доказанная в 1972 году, даёт положительный ответ в случае, если группа линейна, то есть является подгруппой группы матриц над некоторым полем.
  • Гипотеза была опровергнута Ольшанским в 1980 году. Он показал, что монстр Тарского, который как легко видеть не имеет свободных подгрупп ранга 2, неаминабельна.
  • Возможным контрпримером является группа Томпсона F, но до сих пор не известно, является ли она аминабельной.
  • Ни одна из групп перечисленных выше не является конечно заданной. В течение нескольких лет считалось, что, возможно, гипотеза верна для конечно представленных групп. Однако в 2003 году, Ольшанский и Сапир построили конечно-представленные контрпримеры.
  • В 2012 году Николас Монод нашёл простой контрпример к гипотезе.
  • В 2013 году Лодха и Мур нашли конечно-представленные подгруппы в примере Монода, которые также дают контрпример.
    • Последний пример является первым примером без кручения, он допускает задание с тремя образующими и девятью соотношениями.
    • Лодха позже показал, что эта группа удовлетворяет свойству  , то есть её пространство Эйленберга — Маклейна[en] имеет конечное число клеток каждой размерности.

СсылкиПравить