Главное значение интеграла по Коши

Главное значение интеграла по Коши — это обобщение понятия интеграла Римана, которое позволяет вычислять некоторые расходящиеся несобственные интегралы. Идея главного значения интеграла по Коши заключается в том, что при приближении интервалов интегрирования к особой точке с обеих сторон «с одинаковой скоростью» особенности нивелируют друг друга (за счёт различных знаков слева и справа), и в результате можно получить конечную границу, которая и называется главным значением интеграла по Коши. Эта концепция имеет важные применения в комплексном анализе (Теорема Сохоцкого — Племеля)[1].

Так, например, интеграл  — это несобственный интеграл второго рода, не существует, однако он существует в смысле главного значения интеграла по Коши.

Определение главного значения интеграла по КошиПравить

Определение (для особой точки «∞»)Править

Определение (для особой точки «∞»). Пусть f (x) определена на интервале (-∞, + ∞) и fR ([- A, A]) для всех A> 0, но несобственный интеграл I рода   расходится. Если существует конечный предел

 

то эта граница называется главным значением интеграла по Коши (или главным значением в смысле Коши) для функции f в области (-∞, + ∞) и обозначается символом

 

При этом говорят, что функция f (x) интегрируема на интервале (-∞, + ∞) по Коши (или интегрируема в области (-∞, + ∞) в смысле Коши).

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл   Этот интеграл расходится, потому что расходящимся будет, например, интеграл   но существует главное значение данного интеграла в смысле Коши:

 

Теорема

  • Если f (x) — нечётная на (-∞, + ∞) и fR ([- A, A]) для всех A> 0, то f интегрируема на (-∞, + ∞) по Коши.
  • Если f (x) — чётная на (-∞, + ∞) и fR ([- A, A]) для всех A> 0, то сходимость интеграла   эквивалентна сходимости интеграла  

Определение (для конечной особой точки)Править

Определение (для конечной особой точки). Пусть функция f : [a, b]R удовлетворяет условиям:

  1. существует δ> 0 такое, что fR ([a, c — ε]) и fR ([c + ε, b]) для всех ε ∈ (0, δ)
  2. расходящимся есть несобственный интеграл второго рода  

Если существует конечный предел

 

то этот предел называется главным значением интеграла по Коши (или главным значением в смысле Коши) для функции f на отрезке [a, b] и обозначается символом

 

При этом говорят, что функция f (x) интегрируема в [a, b] по Коши (или интегрируема на отрезке [a, b] в смысле Коши).

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл второго рода   (см. рисунок) Он расходится, поскольку расходится, например, интеграл   При этом в понимании главного значения по Коши данный интеграл существует и равен нулю:

 

Случай нескольких особых точек на промежутке интегрированияПравить

Пример. Рассмотрим несобственный интеграл   (см. рисунок). Особые точки подынтегральной функции f (x) = 2 x / (x²-1) есть точки -1, 1 и ∞. Данный интеграл расходится, потому расходится, например, интеграл

 

Очевидно, что fR ([-1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([-1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) для всех ε ∈ (0, 1) (так как ограничена на каждом из этих отрезков). Проверим интегрируемость функции f в смысле Коши:

 

Следовательно, функция f интегрируема в смысле Коши на промежутке (-∞, + ∞).

ПримечанияПравить

  1. Павлов В. П. Главное значение интеграла // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — 707 с. — 100 000 экз.

ИсточникиПравить