Вторая квадратичная форма

(перенаправлено с «Главные кривизны»)

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхностиквадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Вторая квадратичная форма часто обозначается , а её компоненты традиционно обозначаются , и .

Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.

ОпределениеПравить

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением   поверхность задана уравнением   где   и   ― внутренние координаты на поверхности;   ― дифференциал радиус-вектора   вдоль выбранного направления смещения из точки   в бесконечно близкую точку  ;   — нормальный вектор к поверхности в точке  . Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

 

где коэффициенты определяются формулами:

 
 
 

где   обозначает смешанное произведение векторов и       ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Связанные определенияПравить

  • Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор   на касательной плоскости определяемый как
     
где   — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:
 
  • Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направеления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
    • Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.
  • Нормальная кривизна   по направлению   вычисляется по формуле
     
где  первая квадратичная форма.
  • Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.

ВычислениеПравить

График функцииПравить

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции   в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами  , коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

 

Вариации и обобщенияПравить

ГиперповерхностиПравить

Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением  . Пусть   — локальная карта поверхности в точке  .

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

 

где   обозначает единичный вектор нормали.

Большая коразмерностьПравить

Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.[1]

 

где   обозначает проекцию ковариантной производной   на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве.

Для подмногообразий Евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

 

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие   вложено в риманово многообразие   тогда тензор кривизны   многообразия   снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны   объемлющего многообразия  :

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. c. 128 в M. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992

ЛитератураПравить

  • Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.
  • Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.