Вторая квадратичная форма

Вторая квадратичная форма (или вторая фундаментальная форма) поверхности ― квадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая, в отличие от первой квадратичной формы, определяет внешнюю геометрию поверхности в окрестности данной точки.

Вторая квадратичная форма часто обозначается $\mathrm {I\!I}$, а её компоненты традиционно обозначаются $L$, $M$ и $N$.

Знание первой и второй квадратичных форм достаточно для вычисления главных кривизн, средней и гауссовой кривизн поверхности.

Определение

Пусть в трёхмерном евклидовом пространстве со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ поверхность задана уравнением $r=r(u,v),$ где $u$ и $v$ ― внутренние координаты на поверхности; $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ ― дифференциал радиус-вектора $r$ вдоль выбранного направления смещения из точки $M$ в бесконечно близкую точку $M'$; $n$ — нормальный вектор к поверхности в точке $M$. Тогда вторая квадратичная форма имеет вид

$\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},$

где коэффициенты определяются формулами:

$L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},$

$M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},$

$N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2}}}},$

где $(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ обозначает смешанное произведение векторов и $E=|r_{u}|^{2},$ $F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$ $G=|r_{v}|^{2}$ ― коэффициенты первой квадратичной формы поверхности.

Связанные определения

• Оператор формы или оператор Вайнгартена линейный оператор $S$ на касательной плоскости определяемый как

  $S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$

где $\nu$ — поле единичных нормалей к поверхности. Оператор формы связан с второй квадратичной формой следующим соотношением:

$\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).$

• Собственные значения оператора формы называются главными кривизнами поверхности в точке, а собственные направления оператора формы называются главными направлениями поверхности в точке.
  • Кривые на поверхности, идущие в главных направлениях называются линиями кривизны.

• Нормальная кривизна $k_{V}$ по направлению $V$ вычисляется по формуле

  ${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)}}=\langle S(V),V\rangle /|V|^{2}$

где $\mathrm {I}$ — первая квадратичная форма.

• Направление с нулевой нормальной кривизной называется асимптотическим, а кривая на поверхности идущая в асимптотическом направлении называется асимптотической кривой.

Вычисление

График функции

В частном случае, когда поверхность представляет собой график функции $z=f(x,y)$ в трёхмерном евклидовом пространстве с коэффициентами $x,y,z$, коэффициенты второй квадратичной формы принимают вид:

$L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ M={\frac {f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.$

Вариации и обобщения

Гиперповерхности

Рассмотрим гиперповерхность в m-мерном евклидовом пространстве со скалярным произведением $\langle \cdot ,\cdot \rangle$. Пусть ${r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ — локальная карта поверхности в точке $P$.

Тогда коэффициенты второй квадратичной формы вычисляется по формуле

$q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r}}{\partial u^{i}\partial u^{j}}}{\biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,$

где $n$ обозначает единичный вектор нормали.

Бо́льшая коразмерность

Вторая фундаментальная форма определяется также и для подмногообразий произвольной коразмерности.

$\mathrm {I\!I} (v,w)=\nabla _{v}^{\bot }w,$

где $\nabla _{v}^{\bot }w$ обозначает проекцию ковариантной производной $\nabla _{v}w$ на нормальное пространство.

В этом случае вторая фундаментальная форма является билинейной формой на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве. Оператор формы $S_{\xi }$ зависит от нормального вектора $\xi$ и определяется через следующее соотношение:

$\langle S_{\xi }v,w\rangle =-\langle \mathrm {I\!I} (v,w),\xi \rangle .$

Для подмногообразий евклидова пространства тензор кривизны подмногообразия может быть посчитан с помощью так называемой формулы Гаусса:

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$

Для подмногообразий риманова многообразия следует добавить кривизну объемлющего пространства; если многообразие $N$ вложено в риманово многообразие $(M,g)$ тогда тензор кривизны $R_{N}$ многообразия $N$ снабжённого индуцированой метрикой задаётся второй фундаментальной формой и тензором кривизны $R_{M}$ объемлющего многообразия $M$:

$\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .$

По теореме Картана, вторая квадратичная форма для вложения плоского $n$-мерного многообразия в $2{\cdot }n$-мерное Евклидово пространство либо вырождена, то есть существует ненулевой касательный вектор $v$ такой, что

$\mathrm {I\!I} (v,w)=0$

для любого касательного вектора $w$, либо она представляется в следующем виде:

$\mathrm {I\!I} (v,w)=\sum _{i}\ell _{i}(v)\cdot \ell _{i}(w)\cdot e_{i},$

где $e_{1},\dots ,e_{n}$ — ортонормированный базис в нормальном пространстве и $\ell _{1},\dots ,\ell _{n}$ — линейно независимые линейные функции на касательном пространстве.

В частности, вторая квадратичная форма вложения плоского $n$-мерного многообразия в Евклидово пространство размерности меньше $2{\cdot }n$ является вырожденной.

См. также

• Первая квадратичная форма
• Третья квадратичная форма
• Уравнения Петерсона ― Кодацци — полный набор соотношений для первой и второй квадратичной формы поверхности.

Литература

• Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-X.

• Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

• Чернавский, А. В.. Лекции по классической дифференциальной геометрии (2 курс)