Открыть главное меню

Главный идеал

ОпределениеПравить

Левый идеал кольца   называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом  . Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения  ,  ,   для левых, правых и двусторонних главных идеалов соответственно.

Если  коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый  , обозначают через  .

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

  •  .
  •  .
  •  .

Если же   — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

  •  .
  •  .
  •  .

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо   многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных   и  . Идеал  , порождённый многочленами   и  , (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом  ; тогда на него должны делиться   и  . Это возможно, только если   — ненулевая константа. Но в  только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определенияПравить

ПримерыПравить

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов   и   как порождающий элемент идеала  .

ЛитератураПравить

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.