Открыть главное меню

Теория гомоло́гий (др.-греч. ὁμός «равный, одинаковый; общий; взаимный» и λόγος «учение, наука») — раздел математики, который изучает конструкции некоторых топологических инвариантов, называемых группами гомологий и группами когомологий. Также теориями гомологий называют конкретные конструкции групп гомологий.

В простейшем случае топологическому пространству сопоставляется последовательность абелевых групп гомологий , занумерованных натуральными числами . Они являются гомотопическими инвариантами и, в отличие от гомотопических групп, они проще вычисляются и более наглядны геометрически, но для односвязных пространств несут столько же информации[1].

Однако определение гомологий менее явно и использует некоторую техническую машинерию[2], и потому существует несколько различных теорий гомологий — как определённых только для «хороших» топологических пространств или требующих дополнительной структуры, так и более сложных, предназначенных для работы с патологическими примерами. Тем не менее, за исключением таких патологических случаев они обычно совпадают: для клеточных пространств это обеспечивается аксиомами Стинрода — Эйленберга.

Другими обычными понятиями теории гомологий являются гомологии с коэффициентами в абелевой группе , относительные гомологии пары пространств и когомологии , определения которых в некотором смысле двойственно к определению гомологий. Часто рассматриваются именно когомологии из-за наличиях на них умножения , превращающего их в градуированную алгебру.

Также когомологиями называются инварианты, сопоставляемые другим математическим объектам — группам, алгебрам Ли, пучкам. Их объединяет формальная схожесть — например, наличие в их определении понятия гомологий цепного комплекса — а в некоторых случаях и наличие конструкций, сопоставляющих таким объектам топологические пространства с подходящими гомологиями.

Содержание

Общее определениеПравить

Напомним, что  -тая гомотопическая группа   пространства   — это множество отображений из  -мерной сферы в  , рассмотренное с точностью до непрерывной деформации. Для определения гомологий   отображения сфер заменяют на  -циклы, которые интуитивно представляют как замкнутые (то есть не имеющие границы) ориентированные плёнки размерности   внутри  , но в разных определениях формализуют по разному. Условие непрерывной деформируемости заменяют на условие, что разность циклов (их объединение, в котором второй берётся с противоположной ориентацией) является ориентированной границей цикла размерности на один больше.

В стандартных обозначениях группа  -циклов —   (от нем. Zyklus — «цикл»), группа  -границ —   (от англ. boundary — «граница»), а фраза «гомологии есть циклы с точностью до границ» записывается как

 .

Для формализации этой идеи необходимо строго определить циклы и их границы, что для циклов размерности   приводит к некоторым трудностям[1]. Решением является определение промежуточного понятия группы  -цепей  , состоящей из формальных линейных комбинаций отображений в   неких стандартных элементов, зависящих от выбранной конструкции. Граница стандартных элементов определяется как линейная комбинация стандартных элементов размерности на один меньше с подходящими ориентациями, что индуцирует отображение границы  . Тогда  -циклы определяются как  -цепи с нулевой границей (чтобы равенство границы нулю имело смысл, необходимо брать не только положительные, но и любые линейные комбинации стандартных элементов, а отображение границы задавать со знаком). Таким образом, циклы являются ядром, а границы — образом отображения границы:

 .

Условие того, что все границы является циклами, принимает вид условия цепного комплекса:  , а гомологии топологического пространства являются гомологиями этого комплекса.

Выбор стандартных элементов и отображения границы отличается в зависимости от теории. В теории сингулярных гомологий такими элементами являются симплексы, а отображение границы сопоставляет симплексу знакочередующуюся сумму его граней. В теории симплициальных гомологий, определённых для симплициальных комплексов, — тоже симплексы, но не все, а входящие в выбранное симплициальное разбиение. В теории клеточных гомологий, определённых для клеточного комплекса, это гиперсферы из подходящего скелета, а отображение границы задаётся более сложно.

Гомологические теорииПравить

Определяются довольно просто, но доказательство их инвариантности и функториальности довольно сложно.

  • Сингулярные гомологии — другая теория гомологий, предложенная Лефшецом. Их определение требует работы с бесконечномерными пространствами, но инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными.
  • Гомологии Чеха — теория гомологий, наиболее приспособленная для работы с патологическими пространствами.

Гомологии с коэффициентами в произвольных группахПравить

Можно определять гомологии, позволяя коэффициентам при симплексах в цепях быть элементами любой абелевой группы  . То есть, вместо групп   рассматривать группы  .

Группы гомологий (симплициальные, сингулярные и т. д.) пространства   с коэффициентами в группе   обозначаются   Обычно применяют группу действительных чисел  , рациональных чисел  , или циклическую группу вычетов по модулю   —  , причём обычно берётся   — простое число, тогда   является полем.

Другое описание. Применяя к комплексу  

 

функтор  , мы получим комплекс

 ,

гомологии которого и есть гомологии с коэффициентами в  .

КогомологииПравить

Кроме цепей можно ввести понятие коцепей — отображений векторного пространства цепей в группу  . То есть, пространство коцепей  .

Граничный оператор   определяется по формуле:   (где  ). Для такого граничного оператора также выполняется

 , а именно
 .

Поэтому аналогично тому, что было сказано выше, можно ввести понятия коциклов  , кограниц   и когомологий  .

Понятие когомологии двойственно понятию гомологии.

Если   — кольцо, то в группе когомологий   определено естественное умножение (произведение Колмогорова — Александера или  -npоизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо, называемое кольцо когомологий.

В случае, когда   — дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий   может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на   (см. Теорема де Рама).

Понятие когомологии было введено Александером и Колмогоровым.

Относительные гомологии и точная гомологическая последовательностьПравить

Возьмём случай двух топологических пространств  . Группа цепей   (цепи могут быть как с целочисленными коэффициентами, так и с коэффициентами в любой группе  ). Относительными цепями будут называться элементы факторгруппы  . Так как граничный оператор   на группе гомологий подпространства   переводит  , то можно определить на факторгруппе   граничный оператор (мы его обозначим так же)  .

Те относительные цепи, которые граничный оператор переводит в   будут называться относительными циклами  , а цепи, которые являются его значениями — относительными границами  . Так как   на абсолютных цепях, то это же будет верно для относительных, отсюда  . Факторгруппа   называется группой относительных гомологий.

Так как каждый абсолютный цикл в   является также и относительным то имеем гомоморфизм   По функториальному свойству вложение   приводит к гомоморфизму  .

В свою очередь можно построить гомоморфизм  , который мы определим следующим образом. Пусть   — относительная цепь, которая определяет цикл из  . Рассмотрим её как абсолютную цепь в   (с точностью до элементов  ). Так как это относительный цикл, то   будет равен нулю с точностью до некоторой цепи  . Положим   равным классу гомологий цепи  .

Если мы возьмём другую абсолютную цепь  , определяющую тот же относительный цикл, то мы будем иметь  , где  . Имеем  , но так как   является границей в   то   и   определяют один и тот же элемент в группе гомологий  . Если взять другой относительный цикл  , дающий тот же элемент в группе относительных гомологий  , где   — относительная граница, то в силу того, что   граница для относительных гомологий  , где   , отсюда  , но  , а   — граница в  .

Поэтому класс гомологий   определен однозначно. Ясно по линейности оператора  , что он является гомоморфизмом. Итак мы имеем гомоморфизмы:

 ;
  и
 ;
 

Можно доказать, что эта последовательность точна, то есть образ любого гомоморфизма равен ядру следующего гомоморфизма.

Аксиомы Стинрода — ЭйленбергаПравить

Помимо уже известных нам симплициальных и сингулярных гомологий существуют ещё другие теории гомологий и когомологий, например клеточные гомологии, Когомологии Александрова — Чеха, когомологии де Рама и т. д. Стинрод и Эйленберг определили систему аксиом теории (ко)гомологий. Вначале они определяют т. н. допустимый класс пар   топологических пространств, удовлетворяющий следующим свойствам:

  1. Если   то       и  .
  2. Если  , то и  , где   — замкнутый интервал [0,1].
  3.  , где   — одноточечное пространство.

В теории гомологий по Стинроду — Эйленбергу каждой допустимой паре и любому целому числу k соответствует абелева группа   и непрерывному отображению пар   соответствует гомоморфизм   (Пространство   отождествляется с парой  ), а   с  ), причём выполняются следующие аксиомы:

  1. Тождественному отображению пары   соответствует тождественный гомоморфизм  .
  2.   (функториальность)
  3. Определен граничный гомоморфизм  , причём если  , то для соответствующего гомоморфизма   верно   для любой размерности  .
  4. Пусть   и   — вложения,   и   — соответствующие гомоморфизмы,   — граничный гомоморфизм. Тогда определяемая ими последовательность
     
    точна (аксиома точности).
  5. Если отображения   гомотопны, то соответствующие гомоморфизмы равны   для любой размерности   (аксиома гомотопической инвариантности).
  6. Пусть   — открытое подмножество  , причём его замыкание содержится во внутренности множества  , тогда если пары   и   принадлежат допустимому классу, то для любой размерности   вложению   соответствует изоморфизм   (аксиома вырезания).
  7. Для одноточечного пространства   для всех размерностей  . Абелева группа   называется группой коэффициентов (аксиома размерности).

Для сингулярных гомологий допустимый класс пар состоит из всех пар топологических пространств. Ранее определенные группы сингулярных гомологий с коэффициентами в группе   их отображения и граничный гомоморфизм   удовлетворяют всем этим аксиомам. Если в качестве допустимого класса взять класс полиэдров, то можно доказать, что гомологии, определенные с помощью данной системы аксиом, совпадают с симплициальными.

Аналогично можно ввести систему аксиом для когомологий, которая полностью аналогична.

Необходимо только иметь в виду, что отображению   соответствует   (контравариантность) и что кограничный гомоморфизм   увеличивает размерность.

Экстраординарные гомологииПравить

В системе аксиом Стинрода — Эйленберга аксиома размерности оказывается не столь важна, как остальные.

Теории (ко)гомологий, которые могут иметь ненулевые группы (ко)гомологий одноточечного пространства для размерностей  , называются экстраординарными или обобщёнными. Наиболее важными экстраординарными теориями являются K-теория Атьи (надо отметить важный вклад в эту теорию Хирцебруха, Ботта и Адамса) и теория бордизмов Р. Тома.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Вик Дж. У. Теория гомологий. Введение в алгебраическую топологию. — М.: МЦНМО, 2005
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. — М.: Мир, 1976
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984
  • Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. — Ижевск: РХД, 2001
  • Лефшец С. Алгебраическая топология. — М.: ИЛ, 1949
  • Новиков П. С. Топология. — 2 изд. испр. и доп. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002
  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий. — М.: МЦНМО, 2006
  • Свитцер Р. М. Алгебраическая топология. — гомотопии и гомологии. — М.: Наука, 1985
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971
  • Стинрод Н., Эйленберг С. Основания алгебраической топологии. — М.: Физматгиз, 1958
  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989. — 528 с. — ISBN 5020139297.
  • Hatcher A.[en]. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0521795400.