Гомотетия

Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом , переводящее каждую точку в точку такую, что . При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через .

Geom podobnost stejnolehlest.svg

СвойстваПравить

  • Является частным случаем преобразованием подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии  » можно говорить «коэффициент подобия  ».
  • Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
  • Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
  • Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как  , то их площади будут относиться как   (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба).
  • Композиция гомотетий с коэффициентами   и  , произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом  , центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.

Вариации и обобщенияПравить

  • Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как  . Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как  .

См. такжеПравить

СсылкиПравить