Гомотетия
Гомоте́тия (от др.-греч. ὁμός «одинаковый» + θετος «расположенный») — преобразование плоскости (или 3-мерного пространства), заданное центром O и коэффициентом , переводящее каждую точку в точку такую, что . При этом центр остаётся на месте. Гомотетию с центром O и коэффициентом k часто обозначают через .
Свойства
править- Является частным случаем преобразования подобия: в общем случае при преобразовании подобия все векторы по определению просто пропорционально изменяют свою длину, а при гомотетии векторы остаются коллинеарны самим себе, какими они стали после преобразования. Поэтому вместо «коэффициент гомотетии » можно говорить «коэффициент подобия ».
- Если коэффициент гомотетии равен 1, то гомотетия является тождественным преобразованием: образ каждой точки совпадает с ней самой.
- Если коэффициент гомотетии равен −1, то гомотетия является центральной симметрией.
- Если на рисунке выше стороны подобных многоугольников относятся как , то их площади будут относиться как (на плоскости и 3-мерном пространстве это утверждение представляет собой закон квадрата — куба).
- Композиция гомотетий с коэффициентами и , произведение которых не равно единице, — это гомотетия с коэффициентом , центр которой лежит на одной прямой с центрами двух данных гомотетий.
Вариации и обобщения
править- Поворотной гомотетией называют композицию гомотетии и поворота, имеющих общий центр. Порядок, в каком берётся композиция, несущественен, так как . Коэффициент поворотной гомотетии можно считать положительным, так как .
См. также
правитьСсылки
правитьВ статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |