Гомотопические группы сфер

Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий, области алгебраической топологии. Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами. Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна.

Расслоение Хопфа — пример отображения из трёхмерной сферы в двумерную, не стягиваемого в точку. Такое отображение является образующей гомотопической группы $\pi _{3}(S^{2})\simeq \mathbb {Z}$

Их нахождение было одним из наиболее важных направлений развития топологии и математики в целом в 1950—60-х годах, вплоть до создания обобщённых теорий когомологий. Причиной этого было как то, что гомотопические группы сфер являются базовыми топологическими инвариантами, понимание которых приводит к лучшему пониманию топологических пространств в целом, так и наличие большого числа сложных закономерностей в их структуре. Результатом стало как нахождение некоторых общих закономерностей, таких как стабильные гомотопические группы сфер и J-гомоморфизм, так и вычисление групп для малых значений параметров.

Неформальное введение

Многомерная сфера $S^{n}$ размерности $n$ — это топологическое пространство, которое можно представлять как геометрическое место точек $(n+1)$-мерного евклидова пространства, удалённых от начала координат на расстояние 1. В частности, $S^{1}$ — это окружность, а $S^{2}$ — обычная двумерная сфера.

Если $X$ — любое топологическое пространство с отмеченной точкой $x$, то его $i$-тая гомотопическая группа $\pi _{i}(X)$ — это множество отображений из $S^{i}$ в $X$, переводящих $1$ в $x$, рассмотренное с точностью до гомотопий, то есть непрерывных шевелений, которые к тому же должны сохранять отмеченную точку. В частности, $\pi _{1}(X)$ — это фундаментальная группа, то есть группа замкнутых путей в топологическом пространстве с операцией композиции. В многомерном случае это множество также можно снабдить структурой группы, при этом, в отличие от фундаментальной группы, при $i\geqslant 2$ группа $\pi _{i}(X)$ будет коммутативной.

Любое отображение из сферы меньшей размерности в сферу большой размерности можно стянуть в точку, поэтому группы $\pi _{i}(S^{n})=0$ при $i<n$. Однако уже фундаментальная группа окружности $\pi _{1}(S^{1})\simeq \mathbb {Z}$ является бесконечной циклической группой. Её элементы, то есть отображения из окружности $S^{1}$ в себя с точностью до гомотопии, однозначно задаются числом оборотов образа окружности вокруг её центра, и при композиции путей числа оборотов складываются. Аналогично одномерному случаю, гомотопическая группа отображений из $n$-мерной сферы в себя $\pi _{n}(S^{n})\simeq \mathbb {Z}$ является бесконечной цикличной. Тем не менее, устройство группы $\pi _{3}(S^{2})$ интуитивно неочевидно: она порождена расслоением Хопфа.

Малые значения

	π1	π2	π3	π4	π5	π6	π7	π8	π9	π10	π11	π12	π13	π14	π15	π16
S1	Z	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S2	0	Z	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S3	0	0	Z	Z2	Z2	Z12	Z2	Z2	Z3	Z15	Z2	Z22	Z12×Z2	Z84×Z22	Z22	Z6
S4	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z×Z12	Z22	Z22	Z24×Z3	Z15	Z2	Z23	Z120×Z12×Z2	Z84×Z25	Z26
S5	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	Z2	Z2	Z2	Z30	Z2	Z23	Z72×Z2	Z504xZ22
S6	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	Z	Z2	Z60	Z24×Z2	Z23	Z72xZ2
S7	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z120	Z23	Z24
S8	0	0	0	0	0	0	0	Z	Z2	Z2	Z24	0	0	Z2	Z×Z120	Z24

Литература

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.
• Hatcher, Allen. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-79540-1.