Гомотопические группы сфер

Гомотопические группы сфер — один из основных объектов изучения теории гомотопий, области алгебраической топологии. Гомотопические группы сфер классифицируют отображения между многомерными сферами с точностью до непрерывной деформации. Гомотопические группы сфер являются дискретными алгебраическими объектами, а именно конечнопорождёнными абелевыми группами. Несмотря на то, что классификация конечнопорождённых абелевых групп очень проста, точная структура гомотопических групп сфер до конца неизвестна.

Расслоение Хопфа — пример отображения из трёхмерной сферы в двумерную, не стягиваемого в точку. Такое отображение является образующей гомотопической группы

Их нахождение было одним из наиболее важных направлений развития топологии и математики в целом в 1950—60-х годах, вплоть до создания обобщённых теорий когомологий.[1] Причиной этого было как то, что гомотопические группы сфер являются базовыми топологическими инвариантами, понимание которых приводит к лучшему пониманию топологических пространств в целом, так и наличие большого числа сложных закономерностей в их структуре. Результатом стало как нахождение некоторых общих закономерностей, таких как стабильные гомотопические группы сфер и J-гомоморфизм, так и вычисление групп для малых значений параметров.

Неформальное введение править

Многомерная сфера   размерности   — это топологическое пространство, которое можно представлять как геометрическое место точек  -мерного евклидова пространства, удалённых от начала координат на расстояние 1. В частности,   — это окружность, а   — обычная двумерная сфера.

Если   — любое топологическое пространство с отмеченной точкой  , то его  -тая гомотопическая группа   — это множество отображений из   в  , переводящих   в  , рассмотренное с точностью до гомотопий, то есть непрерывных шевелений, которые к тому же должны сохранять отмеченную точку. В частности,   — это фундаментальная группа, то есть группа замкнутых путей в топологическом пространстве с операцией композиции. В многомерном случае это множество также можно снабдить структурой группы, при этом, в отличие от фундаментальной группы, при   группа   будет коммутативной.

Любое отображение из сферы меньшей размерности в сферу большой размерности можно стянуть в точку, поэтому группы   при  . Однако уже фундаментальная группа окружности   является бесконечной циклической группой. Её элементы, то есть отображения из окружности   в себя с точностью до гомотопии, однозначно задаются числом оборотов образа окружности вокруг её центра, и при композиции путей числа оборотов складываются. Аналогично одномерному случаю, гомотопическая группа отображений из  -мерной сферы в себя   является бесконечной цикличной. Тем не менее, устройство группы   интуитивно неочевидно: она порождена расслоением Хопфа.

Малые значения править

                               
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 
                                 

Примечания править

  1. D.B. Fuks. Homotopy groups of the spheres (англ.). Encyclopedia of Mathematics. Дата обращения: 5 ноября 2017. Архивировано 8 ноября 2017 года.

Литература править

  • Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.
  • Hatcher, Allen. Algebraic Topology. — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 978-0-521-79540-1.