Градиент

(перенаправлено с «Градиент (математика)»)

Градие́нт (от лат. gradiens — «шагающий, растущий»)  — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего роста некоторой скалярной величины (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя скалярное поле). Этот вектор ортогонален изоповерхности const.

Оператор градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и чем они длиннее, тем круче наклон

Градиент поля обозначается: . По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины в направлении вектора[1][2]. Например, если взять в качестве высоту поверхности земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну склона.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.

Термин впервые появился в метеорологии для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён Максвеллом в 1873 году; обозначение тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением часто используется компактная запись с использованием оператора набла:

Иллюстрация применения править

 
Градиент 2D функции отображен на графике в виде синих стрелок

Пусть температура в комнате задана с помощью скалярного поля  , не изменяющегося с течением времени, таким образом, что в каждой точке с координатами     температура равняется  . В каждой точке комнаты градиент функции   будет показывать направление, перпендикулярное изотермической поверхности, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

Определение и вычисление править

Для случая трёхмерного пространства градиентом дифференцируемой в некоторой области скалярной функции   координат  ,  ,   называется векторная функция с компонентами

 [3]

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат  :

 

Если   — функция   переменных  , то её градиентом называется  -мерный вектор

 

компоненты которого равны частным производным   по всем её аргументам.

  • Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
  • Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции   в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения   даёт полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена  , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения   при смещении на  . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

 

Поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат  , полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку   — это вектор, градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

 

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

 

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

 ,

градиент можно выразить в интегральной форме:

 

здесь   — замкнутая поверхность охватывающая объём   — нормальный элемент этой поверхности.

Пример править

Например, градиент функции   будет представлять собой:

 

Некоторые применения править

Геометрический смысл править

Рассмотрим семейство линий уровня функции  :

 

Нетрудно показать, что градиент функции   в точке   перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности  , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

В физике править

В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, напряжённость электростатического поля есть минус градиент электростатического потенциала:

 ;

напряжённость гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала:

 .

Консервативная сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии:

 .

Диффузионный поток, согласно первому закону Фика, пропорционален градиенту концентрации вещества:

 ,

где  коэффициент диффузии.

Направление вектора  ,  ,  ,   перпендикулярно поверхности постоянной величины   const,   const,   const и   const, соответственно.

В других естественных науках править

Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

В экономике править

В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя метод множителей Лагранжа и условия Куна — Таккера (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов функции полезности и функции бюджетного ограничения.

Связь с производной по направлению править

Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции   по направлению   равняется скалярному произведению градиента   на единичный вектор  :

 

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

Градиент в ортогональных криволинейных координатах править

 

где   — коэффициенты Ламе.

Полярные координаты (на плоскости) править

Коэффициенты Ламе:

 

Отсюда:

 

Цилиндрические координаты править

Коэффициенты Ламе:

 

Отсюда:

 

Сферические координаты править

Коэффициенты Ламе:

 

Отсюда:

 

Вариации и обобщения править

Пусть   — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция   называется верхним градиентом   если следующее неравенство

 

выполняется для произвольной спрямляемой кривой  , соединяющей   и   в  .[4]

См. также править

Примечания править

  1. Градиент // Советский энциклопедический словарь. — 2-е изд.. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — С. 332. — 1600 с.
  2. Математическая энциклопедия, 1977.
  3. Коваленко Л. И. Методические указания по математическому анализу для студентов второго курса. Элементы векторного анализа.. — МФТИ, 2001. — С. 5. — 35 с. Архивировано 7 ноября 2020 года.
  4. 6.2 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.

Литература править

  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения: уч. пособие для физико-математических специальностей университетов. — М.: Наука, 1986. — 759 с.
  • Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. — 9-е изд. — М. : Наука, 1965.
  • Купцов Л. П. Градиент // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — Стб. 1080. — 1152 с.
  • Рашєвский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — 3-е изд. — М. : Наука, 1967.

Ссылки править