Грассмановым многообра́зием или грассманиа́ном линейного пространства размерности называется многообразие, состоящее из его -мерных подпространств. Обозначается или или . В частности,  — это многообразие прямых в пространстве , совпадающее с проективным пространством . Названо в честь Германа Грассмана.

На грассманиане существует естественная проективная параметризация (координаты определены с точностью до умножения на константу). Соответствующие координаты называются координатами Плюккера. Они определяют вложение . Алгебраические соотношения на плюккеровы координаты, определяющие образ вложения в проективном пространстве, называются соотношениями Плюккера.

Доказательство править

Грассманиан   можно наделить следующим атласом.

Пусть   -мерное подпространство  . Введём в векторном пространстве   скалярное произведение и обозначим через   ортогональное дополнение  .

Так как  , то любое  -мерное подпространство  , достаточно близкое к  , можно отождествить с линейным отображением  , если представить каждый вектор   в виде суммы  , где   и  , и положить  .

Тогда окрестность точки   взаимно однозначно отображается на некоторое открытое подмножество пространства линейных отображений  . Построенный атлас делает   аналитическим многообразием размерности  , где  .

Для того, чтобы показать, что   является проективным алгебраическим многообразием, нужно воспользоваться соотношениями Плюккера, которые являются однородными алгебраическими уравнениями второй степени.

Свойства править

  • Грассманиан   является проективным алгебраическим многообразием размерности  , где  . Соответственно, если   — комплексное пространство, то грассманиан будет комплексно-алгебраическим многообразием.
  • Грассмановым конусом порядка   называется множество разложимых элементов внешней степени  , то есть  -форм, представимых в виде произведения   1-форм. Проективизация грассманова конуса порядка   совпадает с  .
  • В силу естественного изоморфизма  -форм и  -форм, грассмановы многообразия порядка   и   совпадают.
 
Аналогично, комплексный грассманиан соответствует унитарной группе.
 .
Эти соотношения означают, что линейное подпространство   евклидова пространства можно задать, выбрав в объемлющем пространстве ортонормальный базис, первые   векторов которого образуют базис в  . Такая параметризация не однозначна, возможен различный выбор базиса как в самом  , так и в его ортогональном дополнении. Устранению этого произвола соответствует взятие факторгруппы.

Клеточное разбиение править

Грассманиан является клеточным пространством. Соответствующее клеточное разбиение называется клетки Шуберта. Оно строится следующим образом. Выберем в объемлющем пространстве базис  . Заданному k-мерному подпространству   сопоставим набор чисел   (символ Шуберта) по правилу

 

Здесь   — подпространство, натянутое на первые   векторов базиса. Множество всех подпространств с заданными значениями   гомеоморфно клетке, размерность которой равна  . Для комплексного грассманиана все клетки являются комплексными пространствами, поэтому нетривиальные клетки имеются лишь в чётных размерностях. Как следствие, гомологии комплексного грассманиана имеют вид

 

Здесь   — число различных символов Шуберта в (комплексной) размерности  .

Обобщения править

  • Многообразие всех ортонормированных k-реперов в   называется многообразием Штифеля  . Оно имеет естественную структуру локально тривиального расслоения, слоем которого является ортогональная группа:
 
В частности,  ,  .

Литература править

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7..
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.