Question mark2.svg
Нерешённые проблемы математики: Существует ли граф Мура с обхватом 5 и степенью 57?

Граф Мура — регулярный граф степени и диаметром , число вершин которого равно верхней границе

Эквивалентное определение графа Мура — это граф диаметра с обхватом . Ещё одно эквивалентное определение графа Мура  — это граф с обхватом , имеющий в точности циклов длины , где ,  — число вершин и рёбер графа . Графы, фактически, экстремальны по отношению к числу циклов, длина которых равна обхвату графа[1].

Графы названы Аланом Хоффманом[en] и Робертом Синглтоном[2] именем Эдварда Мура, который поставил вопрос описания и классификации таких графов.

Имея максимально возможное число вершин для заданной комбинации степени и диаметра, графы Мура имеют минимально возможное число вершин для регулярных графов с заданной степенью и обхватом. Таким образом, любой граф Мура является клеткой[3]. Формула для числа вершин графа Мура может быть обобщена для возможности определения графов Мура с чётным обхватом, и эти графы снова являются клетками.

Границы числа вершин по степени и диаметруПравить

 
Граф Петерсена как граф Мура. Любое дерево поиска в ширину имеет   вершин в его i-ом уровне.

Пусть   — любой граф с максимальной степенью   и диаметром  , тогда возьмём дерево, образованное поиском в ширину, с корнем в вершине  . Это дерево имеет 1 вершину уровня 0 (сама вершина  ), и максимум   вершин уровня 1 (соседи вершины  ). На следующем уровне имеется максимум   вершин — каждый сосед вершины   использует одно ребро для соединения с вершиной  , так что имеет максимум   соседей уровня 2. В общем случае подобные доводы показывают, что на любом уровне   может быть не больше   вершин. Таким образом, общее число вершин может быть не больше

 

Хоффман и Синглтон[2] первоначально определили граф Мура как граф, для которого эта граница числа вершин достигается. Таким образом, любой граф Мура имеет максимально возможное число вершин среди всех графов, в которых степень не превосходит  , диаметр —  .

Позднее Синглтон[4] показал, что графы Мура можно эквивалентно определить как граф, имеющий диаметр   и обхват  . Эти два требования комбинируются, из чего выводится d-регулярность графа для некоторого  .

Графы Мура в качестве клетокПравить

Вместо верхней границы числа вершин в графе в терминах его максимальной степени и диаметра мы можем использовать нижнюю границу числа вершин в терминах минимальной степени и обхвата [3]. Предположим, что граф   имеет минимальную степень   и обхват  . Выберем произвольную начальную вершину   и, как и прежде, представим дерево поиска в ширину с корнем в  . Это дерево должно иметь одну вершину уровня 0 (сама вершина  ) и по меньшей мере   вершин на уровне 1. На уровне 2 (для  ), должно быть по меньшей мере   вершин, поскольку каждая вершина на уровне   имеет по меньшей мере   оставшихся связей, и никакие две вершины уровня 1 не могут быть смежными или иметь общие вершины уровня 2, поскольку создался бы цикл, более короткий, чем обхват. В общем случае похожие доводы показывают, что на любом уровне   должно быть по меньшей мере   вершин. Таким образом, общее число вершин должно быть не менее

 

В графе Мура это число вершин достигается. Каждый граф Мура имеет обхват в точности   — он не имеет достаточно вершин, чтобы иметь больший обхват, а более короткий цикл привёл бы к недостатку вершин в первых   уровнях некоторых деревьев поиска в ширину. Таким образом, любой граф Мура имеет минимально возможное число вершин среди всех графов с минимальной степенью   и диаметром   — он является клеткой.

Для чётного обхвата   можно образовать аналогичное дерево поиска в ширину, начиная с середины одного ребра. Получаем границу минимального числа вершин в графе этого обхвата с минимальной степенью  

 

Таким образом, в графы Мура иногда включаются графы, на которых данная граница достигается. Снова любой такой граф является клеткой.

ПримерыПравить

Теорема Хоффмана — Синглтона утверждает, что любой граф Мура с обхватом 5 должен иметь степень 2, 3, 7 или 57. Графами Мура являются:

  • Полные графы   с n > 2 вершинами. (диаметр 1, обхват 3, степень n-1, порядок  )
  • Нечётные циклы  . (диаметр  , обхват  , степень 2, порядок 2n+1)
  • Граф Петерсена. (диаметр 2, обхват 5, степень 3, порядок 10)
  • Граф Хоффмана – Синглтона. (диаметр 2, обхват 5, степень 7, порядок 50)
  • Гипотетический граф с диаметром 2, обхватом 5, степенью 57 и порядком 3250, в настоящее время неизвестно, существует ли такой.

Хигман показал, что, в отличие от других графов Мура, неизвестный граф не может быть вершинно-транзитивным. Мачай и Ширан позднее показали, что порядок автоморфизмов такого графа не превосходит 375.

В обобщённом определении графов Мура, где разрешается чётный обхват, графы с чётным обхватом соответствуют графам инцидентности (возможно вырожденных) обобщённых многоугольников. Несколько примеров — чётные циклы  , полные двудольные графы   с обхватом четыре, граф Хивуда со степенью 3 и обхватом 6 и граф Татта — Коксетера со степенью 3 и обхватом 8. Известно[5][6]), что все графы Мура, кроме перечисленных выше, должны иметь обхват 5, 6, 8 или 12. Случай чётного обхвата следует из теоремы Фейта-Хигмана о возможных значениях   для обобщённых n-угольников.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Jernej Azarija, Sandi Klavžar. Moore Graphs and Cycles Are Extremal Graphs for Convex Cycles // Journal of Graph Theory. — 2015. — Т. 80. — С. 34–42. — doi:10.1002/jgt.21837.
  • Béla Bollobás. Modern graph theory. — Springer-Verlag, 1998. — Т. 184. — (Graduate Texts in Mathematics)..
  • E. Bannai, T. Ito. On finite Moore graphs // Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Sect. 1 A, Mathematics. — 1973. — Т. 20. — С. 191–208. Архивировано 24 апреля 2012 года.
  • R. M. Damerell. On Moore graphs // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1973. — Т. 74. — С. 227–236. — doi:10.1017/S0305004100048015.
  • Paul Erdős, Alfréd Rényi, Vera T. Sós. On a problem of graph theory // Studia Sci. Math. Hungar.. — 1966. — Т. 1. — С. 215–235..
  • Alan J. Hoffman, Robert R. Singleton. Moore graphs with diameter 2 and 3 // IBM Journal of Research and Development. — 1960. — Т. 5, вып. 4. — С. 497–504. — doi:10.1147/rd.45.0497.
  • Martin Mačaj, Jozef Širáň. Search for properties of the missing Moore graph // Linear Algebra and its Applications. — 2010. — Т. 432. — С. 2381–2398. — doi:10.1016/j.laa.2009.07.018..
  • Robert R. Singleton. There is no irregular Moore graph // American Mathematical Monthly. — 1968. — Т. 75, вып. 1. — С. 42–43. — doi:10.2307/2315106.

СсылкиПравить