Группа Лоренца

Гру́ппа Ло́ренцагруппа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)[1].

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:

которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала [2]. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях , лоренцевы преобразования , отражения пространственных осей : и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы[3], и поэтому обозначается (либо , что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), или , а также [2].

Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца  — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

Ортохронная группа Лоренца (также обозначается , и она может быть отождествлена с проективной (неопределённой) ортогональной группой[en] ), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца  — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты ). Группа , единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца[4][5]. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца[6].

Представления группы ЛоренцаПравить

Симметрия в физике
Преобразование Соответствующая
инвариантность
Соответствующий
закон
сохранения
Трансляции времени Однородность
времени
…энергии
C, P, CP и T-симметрии Изотропность
времени
…чётности
Трансляции пространства Однородность
пространства
…импульса
Вращения пространства Изотропность
пространства
…момента
импульса
Группа Лоренца (бусты) Относительность
Лоренц-ковариантность
…движения
центра масс
~ Калибровочное преобразование Калибровочная инвариантность …заряда

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат  . При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга:  . При этом матрица   имеет ранг  , равный числу компонент величины  . Каждому элементу группы Лоренца   соответствует линейное преобразование  , единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование  , а произведению двух элементов группы Лоренца   и   соответствует произведение двух преобразований  . Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.[7]

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца   можно построить при помощи спиноров.

ПримечанияПравить

  1. Полупрямое произведение группы Лоренца и группы параллельных переносов пространства Минковского по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит в качестве своей подгруппы группу вращений 3-мерного пространства.
  2. 1 2 С. И. Азаков, В. П. Павлов. Лоренца группа // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.
  3. Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — Springer, 2003. — P. 7.
  4. Гельфанд, Минлос, Шапиро, 1958, с. 165—166.
  5. Ширков, 1980, с. 146.
  6. Naber, 2012, p. 19.
  7. Ширков, 1980, с. 147.

ЛитератураПравить

  • Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
  • Любарский Г. Я.  Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.
  • Наймарк М. А.  Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.
  • Исаев А. П., Рубаков В. А.  Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.
  • Фёдоров Ф. И.  Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
  • Artin, Emil. Geometric Algebra (англ.). — New York: Wiley, 1957.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
  • Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field (англ.). — McGraw-Hill, New York, 1977.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
  • Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.) (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
  • Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1991.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
  • Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (англ.). — Singapore: World Scientific, 2004.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
  • Hatcher, Allen. Algebraic topology (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2002.. See also the online version. Дата обращения: 3 июля 2005. Архивировано 20 февраля 2012 года. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
  • Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime (англ.). — New York: Springer, 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7.. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
  • Needham, Tristam. Visual Complex Analysis (англ.). — Oxford: Oxford University Press, 1997.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
  • Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.

См. такжеПравить