Квазициклическая группа

(перенаправлено с «Группа Прюфера»)

Квазициклическая p-группа, для фиксированного простого числа p — это единственная p-группа, в которой из любого элемента можно извлечь ровно p корней p-й степени. Обычно обозначается как Z(p)

Квазициклическая 2-группа

Квазициклическую p-группу также её называют p-группой Прюфера, в честь немецкого математика Хайнца Прюфера.

Свойства

править

Квазициклическая p-группа может быть представлена как подгруппа U(1), состоящая из комплексных корней из единицы степени pn, где n пробегает все натуральные числа:

 

Эквивалентным образом, квазициклическую p-группу можно рассматривать как подгруппу Q/Z, состоящую из элементов, порядок которых является степенью p:

 

Также p-группа Прюфера может быть задана образующими и соотношениями:

 

Квазициклическая p-группа — это единственная бесконечная p-группа, являющаяся локально циклической[англ.] (то есть такой, что любое конечное подмножество её элементов порождает циклическую группу). Нетрудно видеть, что все собственные подгруппы квазициклической группы являются циклическими.

Квазициклическая группа является делимой.

В теории локально компактных топологических групп квазициклическая p-группа, снабжённая дискретной топологией, является двойственной по Понтрягину к компактной группе целых p-адических чисел.

Квазициклические p-группы, для всевозможных простых p — это единственные бесконечные группы, такие что множество их подгрупп линейно упорядочено по вложению:

 

На этой цепочке включений p-группа Прюфера представлена как прямой предел своих конечных подгрупп.

Как  -модуль, p-группа Прюфера является артиновой, но не является нётеровой (аналогично, она является артиновой, но не нётеровой группой). В таком качестве она является контрпримером к возможному утверждению о том, что любой артинов модуль нётеров.

Ссылки

править
  • quasicyclic group (англ.) на сайте PlanetMath.
  • Н. Н. Вильямс. Quasi-cyclic group (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Jacobson, Nathan. Basic Algebra. — Dover, 2009. — ISBN 978-0-486-47187-7.
  • Pierre Antoine Grillet. Abstract Algebra. — Springer, 2007. — ISBN 978-0-387-71567-4.
  • D. L. Armacost and W. L. Armacost. On p-thetic groups (англ.) // Pacific J. Math.. — 1972. — Vol. 41, no. 2. — P. 295–301.