Открыть главное меню

Группа вращения (группа поворотов) в механике и геометрии — набор всех вращений вокруг начала координат в трёхмерном евклидовом пространстве . По определению, вращение вокруг начала координат — линейное преобразование, которое сохраняет длину векторов, а также сохраняет ориентацию (правую и левую тройку векторов). Группа вращений изоморфна группе вещественных ортогональных матриц с определителем 1 (называемой специальной ортогональной группой размерности 3 — ).

СвойстваПравить

  • Все группы вращений  , в том числе   и  , являются группами Ли.
  • Группы вращений   и вообще   некоммутативны.
  • Группа   диффеоморфна проективному пространству размерности 3. По теореме вращения Эйлера, любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором  ), проходящей через центр координат, и углом  . Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор   и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса  . Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам   и   соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим проективное пространство.
  • Универсальная накрывающая группы   является специальной унитарной группой  , или, что то же самое, группой единичных по модулю кватернионов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом накрытие двулистно.

Вариации и обобщенияПравить

Иногда группами вращений называют специальную ортогональную группу   — группу вращения  -мерного евклидова пространства. Особым случай является группа вращений плоскости   или U(1); в отличие от случая вращения трёхмерного пространства, она является коммутативной.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
  • Богополский О. В. Введение в теорию групп. — М.: Москва-Ижевск: ИКИ, 2002. — 148 с. — ISBN 5-93972-165-6.