Группа узла

Группа узла — характеристика узла, определяемая как фундаментальная группа его дополнения.

ОпределениеПравить

Пусть   есть узел. Тогда группа узла узла определяется как фундаментальная группа  .[1].

КомментарийПравить

По другим соглашениям узел рассматривается как вложение окружности в 3-сферу. В этом случае группу узла определяют как фундаментальную группу его дополнения в  . Оба определения дают изоморфные группы.

СвойстваПравить

  • Два эквивалентных узла имеют изоморфные группы узлов, так что группа узла является инвариантом узла и может быть использована для установления неэквивалентности пары узлов. Однако два неэквивалентных узла могут иметь изоморфные группы узлов (см. пример ниже).
  • Группу узлов (а также фундаментальную группу ориентированных зацеплений в общем случае) можно вычислить с помощью сравнительно простых алгоритмов, используя представление Виртингера[en].

ПримерыПравить

  • Группа тривиального узла изоморфна  .
    • Обратное также верно.
  • Группа трилистника изоморфна группе кос  , эта группа имеет задание:
      или  .
  • Группа  -торического узла обладает заданием:
     .
  • Группа восьмёрки имеет задание:
     .
  • Прямой узел и бабий узел имеют изоморфные группы узлов, но узлы эти не эквивалентны.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить