Губка Менгера

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

5 итераций

На 6-й итерации

Губка Менгера после четырёх итераций

Построение

Итеративный метод

Куб $C_{0}$ с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба $C_{0}$ удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество $C_{1}$, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество $C_{2}$, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

$C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots$,

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Игра в хаос

Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого игрой в хаос, который заключается в следующем:

1. Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
2. Задаётся некоторая начальная точка $P_{0}$, лежащая внутри куба.
3. Строится последовательность точек в следующем цикле:
   1. Случайно выбирается аттрактор $A$ из 20 возможных с равной вероятностью.
   2. Строится точка $P_{i}$ с новыми координатами: $x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3}};y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}}{3}};z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}$, где: $x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}$ — координаты предыдущей точки $P_{i-1}$; $x_{A},y_{A},z_{A}$ — координаты выбранного аттрактора.

Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.

Свойства

Губка Менгера в разрезе

• Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия которых равен 1/3.
• Ортогональные проекции губки Менгера представляют собой ковёр Серпинского.
• Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна $\ln 20/\ln 3\approx 2{,}73$ поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
• Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
  • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности $U$ любой точки $x\in M$ множество $U\setminus x$ связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
• Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть какова бы ни была кривая Урысона $C$, в губке Менгера найдется подмножество $C'$, гомеоморфное $C$.
• Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней.
  • Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию: $\left({\frac {20}{27}}\right)^{n}$

• Сечение губки Менгера, ограниченной кубом со стороной 1 и центром в начале координат, плоскостью $x+y+z=0$ содержит гексаграммы.
• Губка Менгера хорошо рассеивает ударные волны.

См. также

• Теория хаоса
• Система итерируемых функций

Ссылки

• Обобщённый алгоритм построения фракталов методом хаоса на ресурсе Wolfram
• Код для построения фракталов методом хаоса на языке AutoLISP