Губка Менгера

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

5 итераций
На 6-й итерации
Губка Менгера после четырёх итераций

ПостроениеПравить

Итеративный методПравить

Куб   с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба   удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество  , состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество  , состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

 ,

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Игра в хаосПравить

Губка Менгера может быть также получена при помощи процесса, называемого игрой в хаос[en][1][2], который заключается в следующем:

  1. Задаются 20 точек-аттракторов: 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба.
  2. Задаётся некоторая начальная точка  , лежащая внутри куба.
  3. Строится последовательность точек в следующем цикле:
    1. Случайно выбирается аттрактор   из 20 возможных с равной вероятностью.
    2. Строится точка   с новыми координатами:  , где:   — координаты предыдущей точки  ;   — координаты выбранного аттрактора.

Если выполнять цикл достаточно много раз (не менее 100 тысяч) и потом отбросить первые несколько десятков точек, то оставшиеся точки будут образовывать фигуру близкую к губке Менгера.

СвойстваПравить

 
Губка Менгера в разрезе
  • Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия которых равен 1/3.
  • Ортогональные проекции губки Менгера представляют собой ковёр Серпинского.
  • Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна   поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
  • Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
    • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности   любой точки   множество   связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
  • Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть какова бы ни была кривая Урысона  , в губке Менгера найдется подмножество  , гомеоморфное  .
  • Губка Менгера имеет нулевой объём, но бесконечную площадь граней.
    • Объём определяется формулой 20/27 на каждую итерацию:  
  • Сечение губки Менгера, ограниченной кубом со стороной 1 и центром в начале координат, плоскостью   содержит гексаграммы.
  • Губка Менгера хорошо рассеивает ударные волны.[3]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Майкл Барнсли, Луиза Барнсли. Фрактальные трансформации // Фракталы как искусство. Сборник статей / Пер. в англ., фр. Е. В. Николаевой. — СПб.: Спарта, 2015. — С. 35. — 224 с. — ISBN 9785040137008.
  2. Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Stochastic Models with Power-Law Tails: The Equation X = AX + B. — Springer, 2016-07-04. — 325 с. — P. 7. — ISBN 9783319296791.
  3. Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner. Shockwave dissipation by interface-dominated porous structures // AIP Advances. — 2020-07-01. — Т. 10, вып. 7. — С. 075016. — doi:10.1063/5.0015179. Архивировано 12 марта 2022 года.

СсылкиПравить