Гиперболические числа

О гиперкомплексных числах параболического типа см. дуальные числа

Гиперболические числа, или двойны́е чи́сла, паракомпле́ксные чи́сла, расщепля́емые компле́ксные чи́сла, компле́ксные чи́сла гиперболи́ческого ти́па, контркомпле́ксные чи́сла — гиперкомплексные числа вида «a + j · b», где a и b — вещественные числа и $j^{2}=1,$ причём j ≠ ±1.

Определение

Алгебраическое определение

Любое гиперболическое число можно представить как упорядоченную пару вещественных чисел $(x,y).$ Сложение и умножение определяются по правилам:

$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y'),$

$(x,y)\cdot (x',y')=(xx'+yy',xy'+yx').$

Числа вида $(a,0)$ отождествляются с вещественными числами, а $j=(0,1).$ Тогда соответствующие тождества принимают вид:

$(x+jy)+(x'+jy')=(x+x')+j(y+y'),$

$(x+jy)\cdot (x'+jy')=(xx'+yy')+j(xy'+yx').$

Матричное представление

Гиперболические числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению и умножению гиперболических чисел будут соответствовать сложение и умножение соответствующих матриц:

$j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},$

$x+jy={\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.$

Арифметические операции

• Сложение:

  $(a+bj)+(c+dj)=(a+c)+(b+d)j.$

• Вычитание:

  $(a+bj)-(c+dj)=(a-c)+(b-d)j.$

• Умножение:

  $(a+bj)\cdot (c+dj)=(ac+bd)+(bc+ad)j.$

• Деление на число, не являющееся делителем нуля:

  ${\frac {a+bj}{c+dj}}={\frac {ac-bd}{c^{2}-d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}-d^{2}}}j.$

Свойства

$\mathrm {e} ^{jx}=\operatorname {ch} x+j\operatorname {sh} x,$ где sh и ch — гиперболические синус и косинус.

$\operatorname {sh} jx=j\operatorname {sh} x$

$\operatorname {ch} jx=\operatorname {ch} x$

Гиперболические числа образуют двумерную ассоциативно-коммутативную алгебру над полем вещественных чисел. Алгебра гиперболических чисел содержит делители нуля (то есть такие ненулевые элементы z и w, что zw = 0) и поэтому, в отличие от алгебры комплексных чисел, не является полем. Все делители нуля имеют вид $a\cdot (1\pm j).$

Если взять $\alpha =(1+j)/2$ и $\beta =(1-j)/2,$ то

$\alpha \beta =0,$ $\alpha ^{2}=\alpha$ и $\beta ^{2}=\beta .$

Любое гиперболическое число может быть представлено как сумма $\alpha x+\beta y,$ где $x$ и $y$ — вещественные числа. В таком представлении сложение и умножение производится покоординатно.

Таким образом, алгебра гиперболических чисел может быть разложена в прямую сумму двух полей вещественных чисел.

Применение

Гиперболические числа иногда применяются в релятивистской кинематике.