Открыть главное меню
Взаимно двойственные кривые

Двойственная кривая (или дуальная кривая) к заданной кривой на проективной плоскости — это кривая на двойственной проективной плоскости, состоящая из касательных к заданной гладкой кривой. В этом случае кривые называются взаимно двойственными (дуальными). Понятие может быть обобщено для негладких кривых и на многомерное пространство.

Двойственные кривые являются геометрическим выражением преобразования Лежандра в гамильтоновой механике.

Содержание

Двойственная проективная плоскостьПравить

Точки и прямые на проективной плоскости играют симметричные роли по отношению друг к другу: для любой проективной плоскости   можно рассмотреть двойственную проективную плоскость  , в которой точками по определению являются прямые исходной плоскости  . В этом случае прямым плоскости   будут соответствовать точки  , а отношение инцидентности будет то же самое с точностью до перестановки аргументов.

ОпределениеПравить

Пусть дана гладкая кривая   на проективной плоскости   . Рассмотрим множество всех её касательных  . Это множество можно рассмотреть как множество точек двойственной плоскости  . Оно будет образовывать кривую (не обязательно гладкую) в  , которая называется двойственной кривой к  [1].

Из-за симметрии между пространством и двойственным пространством, кривой, двойственной к кривой в   (то есть к однопараметрическому семейству прямых в  ), будет кривая в  . Эта кривая называется огибающей семейства прямых[2].

Кривой, двойственной к эллипсу, будет эллипс. Каждой касательной к исходному эллипсу соответствует точка двойственного эллипса (отмеченная тем же цветом).

ПримерПравить

Рассмотрим эллипс, заданный уравнением   (см. рисунок). Касательными к нему будут прямые, заданные уравнениями  , где  . Таким образом, двойственная к этому эллипсу кривая задаётся уравнением   в координатах  ,  .

СвойстваПравить

Двойственные кривые обладают следующими свойствами[1][3]:

  • Кривая, двойственная к двойственной кривой, будет исходной кривой:  .
  • Если исходная кривая — кривая второго порядка, то двойственная ей кривая тоже будет второго порядка.
  • Каждой двойной касательной (то есть касательной к двум точкам) исходной кривой соответствует точка самопересечения двойственной кривой.
  • Каждой точке перегиба исходной кривой соответствует точка возврата двойственной кривой.

Связь с преобразованиями ЛежандраПравить

Двойственные кривые применяются для описания преобразований Лежандра в гамильтоновой механике. А именно, преобразование Лежандра — это переход от кривой к двойственной кривой, записанный в аффинных координатах. Это связано со следующим свойством: график строго выпуклой функции двойственен графику преобразования Лежандра для этой функции[1].

ПараметризацияПравить

Для параметрически заданной кривой двойственная кривая определяется уравнениями[4]:

 
 

ОбобщенияПравить

Негладкие кривыеПравить

Понятие двойственности можно обобщить для ломаных и вообще для негладких кривых, если вместо касательных рассматривать опорные прямые. Прямая на плоскости называется опорной к кривой, если она содержит точку кривой, но при этом вся кривая лежит в одной полуплоскости от этой прямой. Для гладких кривых единственной опорной прямой, проходящей через данную точку кривой, является касательная к этой кривой. Таким образом, можно обобщить понятия двойственности для негладких кривых: двойственной кривой к произвольной кривой называется множество её опорных прямых.

Множество опорных прямых для ломаной также образует ломаную: опорные прямые, проходящие через вершины исходной ломаной, образуют отрезок двойственной плоскости. Эта ломаная называется двойственной ломаной. Её вершины получаются из отрезков исходной ломаной[1]. В частности, двойственным к многоугольнику будет многоугольник, который называется двойственным многоугольником[en].

Двойственная гиперповерхностьПравить

Понятие двойственности можно обобщить и на проективное пространство произвольной размерности. Двойственным проективным пространством называется пространство, состоящее из гиперплоскостей исходного пространства.

Для заданной выпуклой гиперповерхности в проективном пространстве множество гиперплоскостей, опорных к этой гиперповерхности, называется двойственной гиперповерхностью[1].

ПримерыПравить

Пусть дана окружность, заданная в некоторой системе координат уравнением  . Касательной к окружности в точке  , где  , является прямая  . Координатами этой прямой в двойственной системе координат будет пара  . Таким образом, двойственной кривой к окружности будет множество точек двойственной кривой с координатами  , где  , то есть опять окружность.

В более общем случае, если в пространстве   задана норма, то в сопряжённом пространстве   можно рассмотреть сопряжённую норму[en]. Каждой точке   пространства   соответствует гиперплоскость, заданная уравнением  . Оказывается, что поверхность, сопряжённая единичной сфере в пространстве   (в смысле заданной нормы), является двойственной к единичной сфере в двойственном пространстве в смысле сопряжённой нормы[1].

Так, например, куб — это «сфера» в смысле равномерной нормы ( ). Норма, сопряжённая  , является  -нормой. Следовательно, поверхностью, двойственной к кубу, будет «сфера» в  , то есть октаэдр.

Более того, двойственной поверхностью к многограннику будет двойственный многогранник.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 6 Владимир Арнольд. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Litres, 2015-02-21. — С. 32-33. — 379 с. — ISBN 9785457718326.
  2. Сергей Львовский. Семейства прямых и гауссовы отображения. — Litres, 2015-06-27. — С. 5. — 39 с. — ISBN 9785457742048.
  3. Владимир Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Litres, 2015-02-21. — С. 120. — 342 с. — ISBN 9785457717886.
  4. Evgueni A. Tevelev. Projective Duality and Homogeneous Spaces. — Springer Science & Business Media, 2004-11-17. — С. 2. — 272 с. — ISBN 9783540228981.