Двойственность Пуанкаре

В математике, теорема двойственности Пуанкаре, названная в честь французского математика Анри Пуанкаре, является основным результатом о структуре групп гомологий и когомологий многообразия. Она утверждает, что все k-е группы когомологий n-мерного ориентируемого замкнутого многообразия M изоморфны (n − k)-м группам гомологий M :

ИсторияПравить

Первоначальный вариант теоремы двойственности был сформулирован Пуанкаре без доказательства в 1893 году. Когомологии были изобретены лишь спустя два десятилетия после его смерти, поэтому идею двойственности он сформулировал в терминах чисел Бетти: k-е и (nk)-е числа Бетти замкнутого (компактного без границы) ориентируемого n-мерного многообразия равны:

 

Позже Пуанкаре дал доказательство этой теоремы в терминах двойственных триангуляций[1][2].

Современная формулировкаПравить

Современная формулировка двойственности Пуанкаре включает понятия гомологий и когомологий: если M — замкнутое ориентируемое n-мерное многообразие, kцелое число, то существует канонический изоморфизм k-й группы когомологий   в (n − k)-ю группу гомологий  :

 .

Этот изоморфизм определяется фундаментальным классом многообразия  :

 ,

где  коцикл,   обозначает  -умножение гомологических и когомологических классов. Здесь приведены гомологии и когомологии с коэффициентами в кольце целых чисел, но изоморфизм имеет место и для произвольного кольца коэффициентов.

Для некомпактных ориентируемых многообразий когомологии в этой формуле необходимо заменить на когомологии с компактным носителем.

Для   группы гомологий и когомологий, по определению нулевые, соответственно, согласно двойственности Пуанкаре, группы гомологий и когомологий при   на n-мерном многообразии являются нулевыми.

Билинейное спариваниеПравить

Пусть M замкнутое ориентируемое многообразие, обозначим через   кручение группы  , и   её свободную часть; все группы гомологий берутся с целыми коэффициентами. Существуют билинейные отображения:

 

и

 
(Здесь   — аддитивная факторгруппа группы рациональных чисел по целым.)

Первая форма называется индексом пересечения, вторая — коэффициентом зацепления. Индекс пересечения определяет невырожденную двойственность между свободными частями групп   и  , коэффициент зацепления — между кручениями групп   и  .

Утверждение о том, что эти билинейные спаривания определяют двойственность, означает, что отображения

 

и

 

являются изоморфизмами групп.

Этот результат является следствием двойственности Пуанкаре   и теоремы об универсальных коэффициентах, которые дают равенства   и  . Таким образом, группы   являются изоморфными, хотя и не существует естественного изоморфизма, и, аналогично,  .

СсылкиПравить

  1. Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs, Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) pages 285-343
  2. Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs, Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), pages 277-308

ЛитератураПравить