Открыть главное меню

Дедекиндово сечение

Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

ИсторияПравить

Метод был введён Дедекиндом[1]. Это же построение неявно присутствует в «Началах» Евклида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:

Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12).[2]

ОпределениеПравить

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел   на два подмножества   (нижнее, или левое) и   (верхнее, или правое) такие, что:

  1.   для любых   и  ,
  2.   не имеет минимального элемента.

ПримерыПравить

 
Дедекиндово сечение √2

Вещественному числу   соответствует дедекиндово сечение, определяемое

  и
 

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить  , мы рассекли множество на две части: все числа, что левее  , и все числа, что правее  ; соответственно,   равен точной нижней грани множества  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Рихард Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen / пер. с нем. С. О. Шатуновского. — 4. — Матезис, 1923.
  2. Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. М.-Л.: ГТТИ, 1949—1951. книги I—VI на www.math.ru или на mccme.ru; книги VII—X на www.math.ru или на mccme.ru; книги XI—XIV на www.math.ru или на mccme.ru.