Открыть главное меню

Расслоённое произведение

(перенаправлено с «Декартов квадрат»)

Расслоённое произведение (послойное произведение, коамальгама, декартов квадрат, англ. pullback) — теоретико-категорное понятие, определяемое как предел диаграммы, состоящей из двух морфизмов: Расслоённое произведение часто обозначают как

Двойственное понятие — кодекартов квадрат.

Универсальное свойствоПравить

Пусть в категории   дана пара морфизмов   и   Расслоённое произведение   и   над   — это объект   вместе с морфизмами   для которых следующая диаграмма коммутативна:

 

Более того, расслоённое произведение должно быть универсальным объектом с таким свойством: для любого объекта   с парой морфизмов   дополняющих пару   до коммутативного квадрата, существует единственный морфизм   такой что нижеприведённая диаграмма коммутативна:

 

Внутренний квадрат этой диаграммы, образованный морфизмами   называется декартовым (или коуниверсальным) квадратом для пары морфизмов   и  

Как и другие объекты, определённые с помощью универсального свойства, расслоённое произведение не обязательно существует, но если существует, то определено с точностью до изоморфизма.

ПримерыПравить

В категории множеств расслоённое произведение множеств   и   с отображениями   и   — это множество

 

вместе с естественными проекциями на компоненты.

Аналогичным образом определяется расслоённое произведение в категории коммутативных колец.

Также расслоённое произведение в   можно описывать двумя асимметричными способами:

 
 
 

где   — дизъюнктное объединение множеств.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  • Городенцев А. Л. Алгебра для студентов-математиков. Часть II. — М., 2015. — С. 160.
  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.