Дерево Штерна — Броко — способ расположения всех неотрицательных несократимых дробей в вершинах упорядоченного бесконечного двоичного дерева.

В каждом узле дерева Штерна — Броко (иногда также называемого деревом Фарея) стоит медианта дробей и , стоящих в ближайших к этому узлу левом и правом верхних узлах. Начальный кусок дерева Штерна — Броко в этом случае выглядит так:

Близким по построению к дереву Штерна — Броко является дерево Калкина — Уилфа, в котором дробь является корнем, а все прочие узлы заполняются по следующему алгоритму: каждая вершина имеет двух потомков: левого и правого .


История править

В книге Р. Грэма, Д. Кнута, О. Паташника «Конкретная математика» открытие «дерева Штерна — Броко» связывается с именами Морица Штерна (1858) и Ахилла Броко (1860). Однако аналогичное построение в форме «дерева Калкина-Уилфа» было известно ещё древнегреческим математикам. Оно описано под именем «порождения всех отношений из отношения равенства как из матери и корня» в двух математических обзорах II в. н. э., принадлежащих Никомаху Герасскому и Теону Смирнскому. Теон сообщает, что эта конструкция была известна Эратосфену Киренскому — знаменитому учёному, жившему в III в. до н. э.

Свойства править

  • Все дроби в деревьях Калкина — Уилфа и Штерна — Броко несократимы.
  • Каждая несократимая дробь появляется в дереве ровно один раз.

Для дерева Калкина — Уилфа эти свойства легко доказываются, если заметить, что каждому шагу по дереву в направлении к корню соответствует элементарный шаг вычитания меньшего числа из большего в алгоритме Евклида для поиска наибольшего общего делителя.

Для дерева Штерна — Броко доказательство основано на следующей лемме: если   — дроби в двух соседних узлах дерева, то  .

Система счисления Штерна — Броко править

Можно воспользоваться символами L и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении вниз по дереву от корня, дроби 1/1, к некоторой определённой дроби. Тогда каждая положительная дробь получает единственное представление в виде строки состоящей из символов «R» и «L» (дроби 1/1 соответствует пустая строка). Такое представление положительных рациональных чисел назовём системой счисления Штерна — Броко. К примеру, обозначение LRRL соответствует дроби 5/7.

См. также править

Литература править

  • Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней. — М.: Мир, 2006. — С. 105—109. — 256 с. — ISBN 5-03-003690-3..
  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998. — 704 с. — ISBN 5-03-001793-3..
  • Щетников А. И. Алгоритм разворачивания всех числовых отношений из отношения равенства и идеальные числа Платона // ΣΧΟΛΗ. — 2008. — Т. 2. — С. 55—74. — ISSN 1995-4328.
  • Brocot A. Calcul des rouages par approximation, nouvelle méthode // Revue Chonométrique. — 1861. — Т. 3. — С. 186—194.
  • Stern M. Über eine zahlentheoretische Funktion // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1858. — Т. 55. — С. 193—220.

Ссылки править