Дзета-функция Дедекинда

Дзета-функция Дедекинда — это дзета-функция алгебраического числового поля , являющаяся обобщением дзета-функции Римана.

Определение и основные свойстваПравить

Пусть   — алгебраическое числовое поле,  комплексное число, тогда

 

где   пробегает все ненулевые идеалы кольца целых   поля  ,  абсолютная норма идеала   (которая равна индексу  ). Этот ряд сходится абсолютно для всех   с действительной частью  .

В общем случае дзета-функция Дедекинда определяется как

 

где   пробегает все целые дивизоры поля  , а   обозначает норму дивизора  .

СвойстваПравить

  • Если   — поле рациональных чисел, то   - дзета-функции Римана.

Эйлерово произведениеПравить

Дзета-функция Дедекинда   разлагается в эйлерово произведение по всем простым идеалам   кольца  

 

при  .

Эта формула выражает единственность разложения идеала   в произведение простых идеалов в дедекиндовом кольце  . При   это произведение ненулевых множителей абсолютно сходится к  , откуда следует, что в этой области  .

Аналитическое продолжениеПравить

  имеет аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость, которое является мероморфной функцией, имеющей простой полюс в точке  .

Функциональное уравнениеПравить

Как и дзета-функция Римана, дзета-функция Дедекинда удовлетворяет некоторому функциональному уравнению, связывающему значения   и  . Конкретно, пусть   — дискриминант поля  ,   — число действительных вложений, а   — число пар комплексно-сопряжённых вложений поля   в  . Обозначим

 
 

где  гамма-функция. Тогда функция

 

удовлетворяет функциональному уравнению

 

Связь с характеристиками поляПравить

Как и дзета-функция Римана, значения дзета-функции Дедекинда заключают в себе (хотя бы гипотетически) важную арифметическую информацию о  .

Например, точка   — простой полюс  , и для поля алгебраических чисел   степени   (  определены выше) вычет в этой точке равен

 

где   — число классов дивизоров,  дискриминант поля,   - регулятор поля  , а   — число содержащихся в   корней из 1 (порядок подгруппы кручения  ). Вычет в этой точке дает аналитическую формулу для числа классов.

Другой пример — нуль  , порядок   которого равен рангу группы единиц кольца  . Предел в этой точке равен

 

Это следует из функционального уравнения и соотношения  .

Из функционального уравнения и того, что   для всех натуральных   получаем, что  .   для всех  , кроме случая, когда   полностью действительно (т.е. когда  , т.е. когда   или  ). В полностью действительном случае, Зигель показал, что   - ненулевое рациональное число для отрицательных нечетных  . Стивен Лихтенбаум предложил гипотезу о выражении специальных значений для этих рациональных чисел в терминах алгебраической K-теории поля  .

Связь с дзета- и L-функциямиПравить

В случае, когда  абелево расширение  , его дзета-функция Дедекинда   может быть представлена в виде произведений L-функций Дирихле. К примеру, если  квадратичное поле, то это означает, что

 

где   — это символ Якоби, используемый как характер Дирихле. Это соотношение является аналитической переформулировкой квадратичного закона взаимности Гаусса.

В общем случае, если  расширение Галуа поля   с группой Галуа  , то его дзета-функция Дедекинда является L-функцией Артина регулярного представления  , а значит разлагается в произведение L-функций Артина неприводимых представлений Артина  .

Связь с L-функциями Артина показывает, что если   — расширение Галуа, то   является голоморфной (  "делит"  ). В случае произвольного расширения аналогичное утверждение следует из гипотезу Артина для L-функций

Кроме того,   является дзета-функцией Хассе-Вейля для   и мотивной L-функцией мотива, приходящего из когомологии  .

Расширенная гипотеза РиманаПравить

Расширенная гипотеза Римана (РГР) утверждает, что для любого алгебраического числового поля   если   — комплексный корень уравнения  , лежащий в так называемой критической полосе  , то его действительная часть  .

Обычная гипотеза Римана получается из расширенной для  .

Из РГР следует эффективная версия[6] теоремы Чеботарёва о плотности: если   - конечное расширение Галуа с группой Галуа  , и   - множество сопряженных классов  , число неразветвленных простых чисел в   с нормой, не превосходящей   с классом сопряженности Фробениуса в   растет как

 

причем константа в   абсолютна,   - степень расширения   над  , а   - дискриминант.

ЛитератураПравить

  • Дж.Бернштайн, Ст.Гелбарт. Введение в программу Ленглендса. — Москва - Ижевск, 2008.
  • З.И.Боревич, И.Р.Шафаревич. Теория чисел. — М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
  • Дж.Касселс, А.Фрёлих. Алгебраическая теория чисел. — М.:Мир, 1969.