Открыть главное меню

Дзета-функция Хассе — Вейля

Дзета-функция Хассе-Вейля - аналог дзета-функции Римана, который строится более сложным образом из количества точек многообразия в конечном поле. Это комплексная аналитическая функция, для эллиптических кривых её поведение около точки 1 тесно связано с группой рациональных точек этой эллиптической кривой.

Дзета-функция Хассе-Вейля как глобальная L-функцияПравить

Дзета-функция Хассе-Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию   , определенному над полем алгебраических чисел  , является одним двух наиболее важных типов L-функций. Такие L-функции называются глобальными, поскольку они определяются как произведение Эйлера локальных дзета-функций. Они образуют один из двух основных классов глобальных L-функций, а другой - L-функции, связанные с автоморфными представлениями. Гипотетически предполагается, что существует только один существенный тип глобальной L-функции с двумя описаниями (одно из них исходит из алгебраического многообразия, другое - из автоморфного представления); это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Симуры, самого глубокого и недавнего результата (на 2009-й год) в теории чисел.

Описание дзета-функции Хассе-Вейля с точностью до конечного числа множителей его эйлерового произведения относительно просто. Это получилось из начальных рассмотрений Хассе и Вейля, мотивированными случаем, когда   - это единственная точка, а дзета функция Римана.

Взяв случай   и   - неособое проективное многообразие, мы можем для почти всех простых чисел   рассмотреть редукцию   по модулю  , то есть алгебраическое многообразие   над конечным полем  . Для почти всех     будет неособым. Мы определяем  как ряд Дирихле комплексной переменной  , который является бесконечным произведением по всем простым числам локальных дзета-функций  . Тогда  , согласно нашему определению, хорошо определено только с точностью до умножения на рациональную функцию от в конечного числа аргументов вида  .

Так как эта неопределенность относительно безвредна и имеет мероморфное продолжение всюду, то существует смысл, в котором свойства   существенно не зависят от него. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для  , определенно будет зависеть от пропущенных множителей, но существование такого функционального уравнения от этих множителей зависеть не будет.

Более четкое определение дзета-функции Хассе-Вейля стало возможным благодаря развитию этальных когомологий; они аккуратно объясняют, что делать с недостающими множителями с плохой редукцией. В соответствии с общими принципами, видимыми в теории ветвления, простые с плохой редукцией несут хорошую информацию (теория кондуктора). Это проявляется в теории эталей в критерий Огга-Нерона-Шафаревича для хорошей редукции, а именно, что в определенном смысле существует хорошая редукция во всех простых числах  , для которых представление Галуа   на этальной когомологии группы   является неразветвленным. Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить в терминах характеристического многочлена   где   - эндоморфизм Фробениуса для  . Что происходит при разветвленном  , так это то, что   нетривиально в группе инерции  . Для таких простых определение должно быть исправлено, взяв наибольшее частное от представления  , на котором группа инерции действует тривиальным представлением. С этим уточнением определение   может быть успешно модернизировано с почти всех   до всех  , участвующих в произведении Эйлера. Следствия из функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение вообще не доказано.

Пример: эллиптическая кривая над полем рациональных чиселПравить

Пусть   - эллиптическая кривая над   c кондуктором  , а   - произвольное простое число. Тогда   имеет хорошую редукцию при всех  , не делящих  , имеет мультипликативную редукцию в случае, если   делит  , но   не делит  , и имеет аддитивную редукцию в прочих случаях (т. е. если   делит  ). Тогда дзета-функция Хассе-Вейля от   принимает вид

 

Здесь   - обычная дзета-функция Римана, а   называется L - функцией  , которая имеет вид

 

где для данного  ,

 

где, в случае хорошего редукции  , а в случае мультипликативной редукции   в зависимости от того, разделен ли   или нерасщепленной мультипликативной редукцией в  .

Гипотеза Хассе-ВейляПравить

Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна аналитически продолжаться на мероморфную функцию на всю комплексную плоскость и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному функциональному уравнению для дзета-функции Римана. Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе-Вейля следует из теоремы модулярности.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. — Новокузнецк: ИО НФМИ, 2000. — С. 99. — 312 с. — ISBN 5-8032-3325-0.
  • [Сб. работ под редакцией Дж.Берштайна и Ст.Гелбарта Введение в программу Ленглендса] = An Introduction to the Langlands Program. — Москва, Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008. — С. 118. — 368 с. — ISBN 978-5-93972-697-9.