Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю.

Содержание

ОпределениеПравить

Квадратная матрица  , где   для всяких  , называется диагональной матрицей.

Диагональная матрица имеет вид:

 

Такая матрица является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной.

ОбозначениеПравить

Диагональная матрица   c элементами  , стоящими на главной диагонали, обозначается следующим образом:

 .

СвойстваПравить

  • Диагональная матрица является симметричной:
 .
  • Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.
  • Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов:
 .

 

 

ПримерыПравить

Нулевая матрица

 

и единичная матрица

 

представляют собой простейшие примеры диагональных матриц.

Скалярная матрица является диагональной матрицей, у которой все элементы главной диагонали равны:

 

Приведение к диагональной формеПравить

Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса. Достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы. В общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме.

ЛитератураПравить

См. такжеПравить