Диагональная матрица

Диагональная матрица — квадратная матрица, все элементы которой, стоящие вне главной диагонали, равны нулю:

.

Диагональная матрица с элементами , стоящими на главной диагонали, обозначается .

Является одновременно и верхнетреугольной и нижнетреугольной. Диагональная матрица симметрична: . Ранг диагональной матрицы равен количеству ненулевых элементов, находящихся на главной диагонали.

Диагональные матрицы можно складывать и перемножать почленно:

,

.

Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов: .

Алгебраическое дополнение недиагонального элемента диагональной матрицы равно нулю, то есть:

.

Обратная матрица для диагональной матрицы равна:

.

Диагональными являются нулевая матрица, единичная матрица, скалярная матрица (все элементы главной диагонали равны).

В некоторых случаях недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду путём замены базиса; достаточным условием является различность всех собственных значений матрицы (в общем случае матрица приводима лишь к жордановой форме).