Дикий узел

Дикий узел — патологическое вложение окружности в пространство.

Пример дикого узла

Дикие узлы можно найти в некоторых кельтских узорах.

Определение

Узел называется ручным, если он может быть «утолщён», то есть если существует его расширение до полнотория S ¹ × D ², допускающего вложение в 3-сферу. В теории узлов и в теории 3-многообразии часто слово «ручной» опускается.

Узлы, не являющиеся ручными, называются ди́кими и могут иметь патологическое поведение.

Примеры

Дуга Фокса — Артина

Дикими являются узлы, содержащие так называемые дуги Фокса — Артина — некоторые простые дуги, полученные диким вложением в $E^{3}$. Например, для дуги $L_{1}$ фундаментальная группа $p_{1}$($E^{3}L$) нетривиальна, для дуги $L_{2}$ группа ${\pi }_{1}(E^{3}/L)$ тривиальна, но само $E^{3}/L$ не гомеоморфно дополнению в $E^{3}$ к точке.

На рисунке выше приведён дикий узел с одной дикой (патологической) точкой. Легко построить дикий узел, содержащий несколько патологических точек, бесконечное число таких точек, и даже несчётное множество патологических точек. В книге Сосинского приведено построение дикого узла, патологические точки которого образуют канторово множество. Возможно представить и дикий узел, содержащее более сложное множество — ожерелье Антуана.

Свойcтва

• Узел является ручным тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде конечной ломаной.
• Гладкие узлы являются ручными.

Вариации и обобщения

• Нетривиальные дикие узлы появляются и в сферах старших размерностей. Например по теореме о двойной надстройке, двойная надстройка над сферой Пуанкаре гомеоморфна стандартной сфере $\mathbb {S} ^{5}$. При этом экватор двойной надстройки образует в $\mathbb {S} ^{5}$ дикой узел и его дополнение имеет нетривиальную фундаментальную группу.

См. также

• Дикая сфера

Литература

• L. H. Kauffman. An invariant of regular isotopy // Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1990. — Vol. 318, № 2.
• А. Б. Сосинский. Узлы. Хронология одной математической теории. — Москва: МЦНМО, 2005. — ISBN 5-94057-220-0.