Открыть главное меню

Диофант Александрийский

Диофа́нт Александри́йский (др.-греч. Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς; лат. Diophantus) — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел.

Диофант Александрийский
Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς
Διόφαντος - Diophantos - ДИОФАНТ.jpg
Дата рождения не ранее 201 и не позднее 215 или 200[1]
Место рождения
Дата смерти не ранее 285 и не позднее 299
Страна
Научная сфера теория чисел
Известен как «отец алгебры»
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.

В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны.

БиографияПравить

 
Латинский перевод Арифметики (1621)

О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что его Арифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача:

  Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
  Мудрым искусством его скажет усопшего век.
  Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком.
  И половину шестой встретил с пушком на щёках.
  Только минула седьмая, с подругой он обручился.
  С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
  Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
  Отнят он был у отца ранней могилой своей.
  Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
  Тут и увидел предел жизни печальной своей.
                       (Перевод С. П. Боброва)

Она эквивалентна решению следующего уравнения:

 

Это уравнение даёт  , то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.

Арифметика ДиофантаПравить

Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 (или 10, см. ниже) первых книг из 13.

 
Лист из Арифметики (рукопись XIV века). В верхней строке записано уравнение:  .

Первая книга предварена обширным введением, в котором описаны используемые Диофантом обозначения. Неизвестную Диофант называет «числом» (ἀριθμός) и обозначает буквой ς, квадрат неизвестной — символом ΔΥ (сокращение от δύναμις — «степень»), куб неизвестной — символом ΚΥ (сокращение от κύβος — «куб»). Предусмотрены специальные знаки для следующих степеней неизвестного, вплоть до шестой, называемой кубо-кубом, и для противоположных им степеней, вплоть до минус шестой.

Знака сложения у Диофанта нет: он просто пишет рядом положительные члены в порядке убывания степени, причём в каждом члене сначала записывается степень неизвестного, а затем численный коэффициент. Вычитаемые члены также записываются рядом, а перед всей их группой ставится специальный знак в виде перевёрнутой буквы Ψ. Знак равенства обозначается двумя буквами ἴσ (сокращение от ἴσος — «равный»).

Сформулированы правило приведения подобных членов и правило прибавления или вычитания к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения: то, что потом у ал-Хорезми стало называться «алгеброй и алмукабалой». Введено правило знаков: «минус на плюс даёт минус», «минус на минус даёт плюс»; это правило используется при перемножении двух выражений с вычитаемыми членами. Всё это формулируется в общем виде, без отсылки к геометрическим истолкованиям.

Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189, вместе с четырьмя из арабской части - 290), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений второго порядка от двух неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней. В VI книге исследуются задачи, относящиеся к прямоугольным треугольникам с рациональными сторонами.

Влияние Арифметики на развитие математикиПравить

В X веке Арифметика была переведена на арабский язык (см. Куста ибн Лука), после чего математики стран ислама (Абу Камил и др.) продолжили некоторые исследования Диофанта. В Европе интерес к Арифметике возрос после того, как Рафаэль Бомбелли перевёл и опубликовал это сочинение на латинский язык, и опубликовал 143 задачи из него в своей Алгебре (1572). В 1621 году появился классический, подробно прокомментированный латинский перевод Арифметики, выполненный Баше де Мезириаком.

Методы Диофанта оказали огромное влияние на Франсуа Виета и Пьера Ферма; впрочем, в Новое время неопределённые уравнения обычно решаются в целых числах, а не в рациональных, как это делал Диофант. Когда Пьер Ферма читал «Арифметику» Диофанта, изданную Баше де Мезириаком, он пришёл к выводу, что одно из уравнений, похожих на рассмотренные Диофантом, не имеет решений в целых числах, и заметил на полях, что он нашёл «поистине чудесное доказательство этой теоремы… однако поля книги слишком узки, чтобы его привести». Сейчас это утверждение известно как Великая теорема Ферма.

В XX веке под именем Диофанта обнаружен арабский текст ещё четырёх книг Арифметики. И. Г. Башмакова и Е. И. Славутин, проанализировав этот текст, выдвинули гипотезу, что его автором был не Диофант, а хорошо разбиравшийся в методах Диофанта комментатор, вероятнее всего — Гипатия. Однако существенный разрыв в методике решений задач первых трёх и последних трёх книг хорошо заполняется четырьмя книгами арабского перевода. Это заставляет пересмотреть результаты предыдущих исследований.[2].[нет в источнике]

Другие сочинения ДиофантаПравить

Трактат Диофанта О многоугольных числах (Περὶ πολυγώνων ἀριθμῶν) сохранился не полностью; в сохранившейся части методами геометрической алгебры выводится ряд вспомогательных теорем.

Из сочинений Диофанта Об измерении поверхностей (ἐπιπεδομετρικά) и Об умножении (Περὶ πολλαπλασιασμοῦ) также сохранились лишь отрывки.

Книга Диофанта Поризмы известна только по нескольким теоремам, используемым в Арифметике.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

Сочинения:

Исследования:

  • Башмакова И. Г., Славутин Е. И., Розенфельд Б. А. Арабская версия «Арифметики» Диофанта // Историко-математические исследования. — М., 1978. — Вып. XXIII. — С. 192 — 225.
  • Башмакова И. Г. Арифметика алгебраических кривых: (От Диофанта до Пуанкаре) // Историко-математические исследования. — 1975. — Вып. 20. — С. 104 — 124.
  • Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения. — М.: Наука, 1972 (Репринт.: М.: ЛКИ, 2007). Пер. на нем. яз.: Diophant und diophantische Gleichungen. — Basel; Stuttgart: Birkhauser, 1974. Пер. на англ. яз.: Diophantus and Diophantine Equations / Transl. by A. Shenitzer with the editorial assistance of H. Grant and updated by J. Silverman // The Dolciani Mathematical Expositions. — № 20. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 1997.
  • Башмакова И. Г. Диофант и Ферма: (К истории метода касательных и экстремумов) // Историко-математические исследования. — М., 1967. — Вып. VII. — С. 185 — 204.
  • Башмакова И. Г., Славутин Е. И. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. — М.: Наука, 1984.
  • История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. — Т. I: С древнейш. времён до начала Нов. времени / Под ред. А. П. Юшкевича. — М., Наука, 1970.
  • Славутин Е. И. Алгебра Диофанта и её истоки // Историко-математические исследования. — М., 1975. — Вып. 20. — С. 63 — 103.
  • Щётников А. И. Можно ли назвать книгу Диофанта Александрийского «О многоугольных числах» чисто алгебраической? // Историко-математические исследования. — М., 2003. — Вып. 8 (43). — С. 267 — 277.
  • Heath Th. L. Diophantus of Alexandria, A Study in the History of Greek Algebra. — Cambridge, 1910 (Repr.: NY, 1964).
  • Knorr W. R. Arithmktikê stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria // Historia Mathematica. — 20. — 1993. — P. 180 — 192.
  • Christianidis J. The way of Diophantus: Some clarifications on Diophantus’ method of solution // Historia Mathematica. — 34. — 2007. — P. 289 — 305.
  • Rashed R., Houzel C. Les Arithmétiques de Diophante. Lecture historique et mathématique. — De Gruyter, 2013.

СсылкиПравить