Диполярная система координат

Диполя́рная[1], или дипо́льная[2], систе́ма координа́т — трёхмерная криволинейная ортогональная система координат, основанная на точечном (центральном) диполе, точнее, на его инвариантах преобразования координат.

ОпределениеПравить

В диполярной системе координат, привязанной к точечному диполю, каждая точка пространства определяется тремя числами. При этом при фиксации одной из координат получается эквипотенциальная поверхность, а при фиксации двух других — силовая линия. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Диполярная система координат имеет вращательную (аксиальную) симметрию относительно оси диполя.

 
Точное рассчитанное изображение силовых (красных) и эквипотенциальных (зеленых) линий диполя на плоскости, проходящей через его ось

На рисунке справа (который рассчитан на компьютере) на плоскости, проходящей через ось диполя, показаны его силовые линии (красные), а также сечения эквипотенциальных поверхностей этой плоскостью (зеленые). Сам диполь находится в центре рисунка. Рисунок имеет две оси симметрии, горизонтальную и вертикальную, показанные прямыми линиями. Вертикальная прямая на рисунке является осью диполя. Силовые линии нарисованы красным цветом, они более вытянуты, расположены слева и справа от диполя, а линии зеленого цвета, более округлые, расположенные сверху и снизу диполя, суть сечения эквипотенциальных поверхностей («эквипотенциальные линии»). Координатные линии диполярной системы координат в трехмерном пространстве получаются вращением этого рисунка вокруг вертикальной оси.

Диполярная система координат широко используется при математическом моделировании дипольных систем. Причем обозначения координат, их порядок и направление не устоялись и могут меняться[1][2][3].

Определение диполярных координат через координаты других системПравить

Центры систем координат совпадают, также они соответственно ориентированы относительно друг друга: оси систем и долготы совпадают.

Сферическая система координатПравить

Координатные составляющие   диполярной системы, моделирующей магнитный диполь, определяются через сферические координаты   так[1]:

 

В соответствии с терминологией сферической системы координат здесь   — расстояние до начала координат (радиальное расстояние),   — зенитный, или полярный, угол, или наклонение, или коширота,   — азимутальный угол. Уравнение   определяет эквипотенциальную поверхность магнитного поля, а система уравнений   — силовую линию.

Значения диполярных координат имеют следующие ограничения:

 ,  ,  ,

причем координаты   и   (а также   и  ) не определены при  , а координата   ) не определена еще и при   и  .

Переход от компонент некоторого вектора   в сферических координатах к компонентам в диполярной системе осуществляется по формулам[1]

 

где

 

Пусть  ,  ,   — координатные орты в этой диполярной системе координат. Тогда[1]

 ,  ,  ,

т. е. так определенная диполярная система координат является, по правилу буравчика, левой.

Выразить однозначно   через   не удается, например, уравнения для определения   такие[1]:

 

Иногда используют безразмерное расстояние  , где   — некоторое фиксированное расстояние, следующим образом[2]:

 

Тогда

 ,  ,  ,

т. е. так определенная диполярная система координат является, по правилу буравчика, правой.

Декартова система координатПравить

Координатные составляющие   диполярной системы, моделирующей магнитный диполь, определяются через декартовы координаты   и радиальное расстояние   так[1]:

 

Выразить однозначно   через   не удается[1]:

 

Дифференциальные характеристикиПравить

Первые и вторые производныеПравить

Матрица Якоби перехода от декартовых к диполярным координатам имет вид[1]:

 

Матрица Якоби перехода от сферических к диполярным координатам имет вид[1]:

 

Коэффициенты Ламэ

 

Вторые производные[1]:

 
 
 
 

Пусть   — некоторая скалярная функция. Ее первые производные в диполярных и сферических координатах связаны[1]:

 
 
 

или

 
 
 

Ее оператор Лапласа равен[1]

 

Векторные операцииПравить

Координаты векторных дифференциальных операторов в диполярной системе следующие[1]:

 
 
 
 
 
 
 

Математическое моделирование ЗемлиПравить

Для описания поведения заряженных частиц в магнитном поле Земли наиболее удобна (гораздо удобнее, чем Сферическая геомагнитная система координат) диполярная система координат[2].

Дипольная система координат   при моделировании Земли строится следующим образом[1][2]:

  • ее начало помещено в центр Земли;
  • дипольная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса;
  • координата   меняется перпендикулярно вектору магнитного поля Земли   в плоскости геомагнитного меридиана;
  • координата   меняется вдоль дипольной силовой линии, т. е. ее направление совпадает с направлением вектора  ;
  • координата   меняется в направлении, перпендикулярном первым двум.

Теоретически диполярная система координат может записываться и как левая система координат, когда координатный орт   направлен от центра Земли, например, так[1]:

 

и как правая система координат, когда координатный орт   направлен к центру Земли[2], например, так:

 

где  ,  радиус Земли.

В соответствии с терминологией сферической системы координат здесь   — расстояние до начала координат (радиальное расстояние),   — зенитный, или полярный, угол, или наклонение, или коширота,   — азимутальный угол.

Координаты системы имеют следующий физический смысл[2]:

  •   и   — соответственно размерное (в м или км) и безразмерное (в радиусах Земли  ) геоцентрическое расстояние до вершины силовой линии,  параметр Мак-Илвейна;
  •   и   — соответственно размерный и безразмерный геомагнитный потенциал;
  •   — геомагнитная долгота.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

Источники
  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Фаткуллин М. Н., Ситнов Ю. С. Диполярная система координат и ее некоторые особенности // Геомагнетизм и аэрономия. 1972. Т. 12, № 2. С. 333—335.
  2. 1 2 3 4 5 6 7 Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 173—174. ISBN 5-02-000716-1
  3. Кащенко Н. М., Мациевский С. В. Математической моделирование неустойчивостей экваториального F-слоя ионосферы // Вестник Калининградского государственного университета. 2003. Вып. 3. С. 59—68.