Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье[1].

Формулы преобразованийПравить

Прямое преобразование:

 

Обратное преобразование:

 

Вторая часть выражения следует из первой по формуле Эйлера.

Обозначения:

  •   — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;
  •   — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами  ), которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;
  •   —   комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;
  •   — обычная (вещественная) амплитуда  -го синусоидального сигнала;
  •   — индекс частоты. Частота  -го сигнала равна  , где   — период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от   колебаний за период до одного колебания за период. Поскольку частота дискретизации сама по себе равна N отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены — возникает муаровый эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из   комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.

Вывод преобразованияПравить

Рассмотрим некоторый периодический сигнал   c периодом равным T. Разложим его в ряд Фурье:

 

Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал представим в виде отсчетов:  , где  , тогда эти отсчеты через ряд Фурье запишутся следующим образом:

 

Используя соотношение:  , получаем:

      где      

Таким образом мы получили обратное дискретное преобразование Фурье.

Умножим теперь скалярно выражение для   на   и получим:

 

Здесь использованы: а) выражение для суммы конечного числа членов (экспонент) геометрической прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как предела отношения функций Эйлера для комплексных чисел. Отсюда следует, что:

 

Эта формула описывает прямое дискретное преобразование Фурье.

В литературе принято писать множитель   в обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут формулы преобразования в следующем виде:

 

Иногда можно встретить симметричную форму записи преобразования

 

Матричное представлениеПравить

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов   в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение симметричной квадратной матрицы на вектор:

 

матрица   имеет вид:

 

Элементы матрицы задаются следующей формулой:

 

СвойстваПравить

  1. Линейность
     
  2. Сдвиг по времени
     
  3. Периодичность
     
  4. Выполняется Теорема Парсеваля.
  5. Обладает спектральной плотностью
     
  6.  
     
      Нулевая гармоника является суммой значений сигнала.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — Спб: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
  • М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб, 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1.

ПримечанияПравить

  1. Федоренко С. В. - Модификация алгоритма Грецеля-Блейхута. - Статья. - Журнал Приборостроение. - УДК 621.391

СсылкиПравить

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) (недоступная ссылка). Дата обращения 15 ноября 2010. Архивировано 1 января 2012 года.

Свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (недоступная ссылка). Дата обращения 15 ноября 2010. Архивировано 8 мая 2012 года.