Дискретное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале. Дискретное преобразование Фурье требует в качестве входа дискретную функцию. Такие функции часто создаются путём дискретизации (выборки значений из непрерывных функций). Дискретные преобразования Фурье помогают решать дифференциальные уравнения в частных производных и выполнять такие операции, как свёртки. Дискретные преобразования Фурье также активно используются в статистике, при анализе временных рядов. Существуют многомерные дискретные преобразования Фурье[1].

Формулы преобразований править

Прямое преобразование:

 

Обратное преобразование:

 

Вторая часть выражения следует из первой по формуле Эйлера.

Обозначения:

  •   — количество значений сигнала, измеренных за период, а также количество компонент разложения;
  •   — измеренные значения сигнала (в дискретных временных точках с номерами  ), которые являются входными данными для прямого преобразования и выходными для обратного;
  •   —   комплексных амплитуд синусоидальных сигналов, слагающих исходный сигнал; являются выходными данными для прямого преобразования и входными для обратного; поскольку амплитуды комплексные, то по ним можно вычислить одновременно и амплитуду, и фазу;
  •   — обычная (вещественная) амплитуда  -го синусоидального сигнала;
  •   — индекс частоты. Частота  -го сигнала равна  , где   — период времени, в течение которого брались входные данные.

Из последнего видно, что преобразование раскладывает сигнал на синусоидальные составляющие (которые называются гармониками) с частотами от   колебания за период до   колебаний за период (плюс константа). Поскольку частота дискретизации сама по себе равна   отсчётов за период, то высокочастотные составляющие не могут быть корректно отображены — возникает муаровый эффект. Это приводит к тому, что вторая половина из   комплексных амплитуд, фактически, является зеркальным отображением первой и не несёт дополнительной информации.

Вывод преобразования править

Рассмотрим некоторый периодический сигнал   c периодом, равным T. Разложим его в ряд Фурье:

 

Проведем дискретизацию сигнала так, чтобы на периоде было N отсчетов. Дискретный сигнал представим в виде отсчетов:  , где  , тогда эти отсчеты через ряд Фурье запишутся следующим образом:

 

Используя соотношение  , получаем:

      где      

Таким образом мы получили обратное дискретное преобразование Фурье.

Умножим теперь скалярно выражение для   на   и получим:

 

Здесь использованы: а) выражение для суммы конечного числа членов (экспонент) геометрической прогрессии, и б) выражение символа Кронекера как предела отношения функций Эйлера для комплексных чисел. Отсюда следует, что:

 

Эта формула описывает прямое дискретное преобразование Фурье.

В литературе принято писать множитель   в обратном преобразовании, и поэтому обычно пишут формулы преобразования в следующем виде:

 

Иногда можно встретить симметричную форму записи преобразования

 

Матричное представление править

Дискретное преобразование Фурье является линейным преобразованием, которое переводит вектор временных отсчётов   в вектор спектральных отсчётов той же длины. Таким образом преобразование может быть реализовано как умножение симметричной квадратной матрицы на вектор:

 

матрица   имеет вид:

 

Элементы матрицы задаются следующей формулой:

 , где  .

Собственные числа матрицы — корни четвёртой степени из единицы  , имеющие кратность  ,  ,   и   соответственно, где  округлённое вниз число  .

Применение к умножению чисел править

Дискретное преобразование Фурье вектора   может быть интерпретировано как вычисление значений многочлена   в корнях из единицы  ,  ,  , …,  .

Значения многочлена  -й степени в   точках однозначно определяют сам многочлен. В то же время, если   и  , то  , потому по значениям многочленов   и   можно также определить значения в тех же точках многочлена   и восстановить его обратным дискретным преобразованием Фурье.

Так как любое число представимо в виде многочлена от основания системы счисления  , умножение двух чисел может быть в свою очередь сведено к умножению двух многочленов и нормализации результата.

Свойства править

  1. Линейность
     
  2. Сдвиг по времени
     
  3. Периодичность
     
  4. Выполняется Теорема Парсеваля.
  5. Обладает спектральной плотностью
     
  6.  
     
      Нулевая гармоника является суммой значений сигнала.

См. также править

Литература править

  • Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. — 2-е. — СПб.: Питер, 2006. — С. 751. — ISBN 5-469-00816-9.
  • М. А. Павлейно, В. М. Ромаданов. Спектральные преобразования в MatLab. — СПб., 2007. — С. 160. — ISBN 978-5-98340-121-1.

Примечания править

  1. Федоренко С. В. - Модификация алгоритма Грецеля-Блейхута Архивная копия от 24 марта 2022 на Wayback Machine. - Статья. - Журнал Приборостроение. - УДК 621.391

Ссылки править

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ). Дата обращения: 15 ноября 2010. Архивировано из оригинала 1 января 2012 года.

Свойства дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Дата обращения: 15 ноября 2010. Архивировано из оригинала 8 мая 2012 года.