Открыть главное меню
Образ квадрата прямоугольной сетки при некотором диффеоморфизме этого квадрата в себя.

Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Содержание

ОпределениеПравить

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение   гладкого многообразия   в гладкое многообразие  , обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается  -гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса   при любом натуральном  .

ПримерыПравить

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определенияПравить

  • Если для   и   существует диффеоморфизм  , то говорят, что   и   диффеоморфны.
    • Обычно это отношение обозначается  .
    • Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.
  • Множество диффеоморфизмов многообразия   в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов   и обозначаемую  .
  • Отображение   называется локальным диффеоморфизмом в точке   если его сужение на некоторую окрестность точки   является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки  .

СвойстваПравить

  • Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
    • Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия.
  • Взаимно однозначное отображение   является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда   — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
  • Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
  • Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
  • Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.