Дифференциальная геометрия поверхностей

Дифференциальная геометрия поверхностей — исторически важная область дифференциальной геометрии.

Дифференциальная геометрия поверхностей разделяется на два основных подраздела: внешней и внутренней геометрии. Основным объектом изучения внешней геометрии поверхностей является гладкие поверхности вложенные в евклидово пространство, а также ряд их обобщений. Во внутренней геометрии основным объектом являются абстрактно заданные поверхности с различными дополнительными структурами, наиболее часто — первая фундаментальная форма (то же, что риманова метрика).

ИсторияПравить

Отдельные свойства поверхностей вращения были известны ещё Архимеду. Развитие математического анализа в семнадцатом веке обеспечило более систематические подходы к их доказательству.

Кривизну поверхностей общего вида изучал Леонард Эйлер; в 1760 году им получено выражение для нормальных кривизн поверхности.[1] В 1771 году[2] он рассматривал поверхности, заданные в параметрической форме, ввёл по­ня­тие на­ло­жи­мо­сти по­верх­но­стей (в современной терминологии изометричные); в частности он рассмотрел по­верх­но­сти, на­ло­жи­мые на плос­кость. Таким образом Эйлер был первым, кто рассматривал внутреннюю геометрию поверхности.

Гаспар Монж рассматривал асимптотические кривые и линии кривизны на поверхностях.

Важнейший вклад в теорию поверхностей сделал Гаусс в двух статьях, написанных в 1825 и 1827 годах[3]. В частности им доказана так называемая Theorema Egregium — исторически важный результат Гаусса, который говорит, что кривизна Гаусса является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий. Выделение дифференциальной геометрии в отдельную область исследований часто связывают именно с этой теоремой.[4] Он ввёл понятие первой и второй квадратичных форм. Позже Карл Михайлович Пе­тер­со­н, вывел пол­ную сис­те­му урав­не­ний на квадратичные формы поверхности.

Ключевые результаты во внутренней геометрии поверхностей были получены Фердинандом Готлибовичем Миндингом. В частности он ввёл понятие параллельного перенесения вдоль кривой, получившее дальнейшее развитие в работах Туллио Леви-Чивиты.

С конца XIX векa, большое внимание уделялось задаче об изометрическом погружении, изгибании поверхностей и задачам жёсткости. Важнейшие результаты были получены Александром Даниловичем Александровым, Давидом Гилбертом, Дмитрием Фёдоровичем Егоровым, Стефаном Кон-Фоссеном и другими.

Методы развитые в дифференциальной геометрии поверхностей сыграли основную роль в развитии римановой и александровской геометрий.

Основные понятияПравить

Гладкая вложенная поверхность является основным объектом изучения дифференциальной геометрии поверхностей, точнее внешней геометрии поверхностей. Она определяется следующим образом: Подмножество   евклидова пространства называется гладкой вложенной поверхностью (точнее гладкой регулярной вложенной поверхностью без границы), если для любой точки   существует окрестность   в  , которая является графиком   гладкой функции   в подходящим образом выбранной системе декартовых координат  .

Для любой поверхности, вложенной в евклидово пространство, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура задаётся первой фундаментальной формой, то есть 2×2 положительно определённой матрицей, гладко меняющаяся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Можно абстрагироваться от исходного вложения. То есть рассматривать абстрактную поверхность заданную локальными координатами с римановой метрикой. Это приводит к так называемой внутренней геометрии поверхностей, получившей дальнейшее развитие в римановой геометрии.

Центральную роль в исследовании поверхностей играет кривизна, в том числе главные кривизны, гауссова и средняя кривизны, а также тензорные описания кривизны, такие как оператор формы и вторая фундаментальная форма.

Большое внимание отводится и другим классам кривых на поверхности, включая геодезические, асимптотические кривые и линии кривизны.

Основные результаты теории относятся к свойствам выпуклых, седловых поверхностей, поверхностей вращения, поверхностей постоянной средней кривизны и в частности минимальных поверхностей.

Конструкции
  • Сферическое отображение — отображение при котором точка поверхности отображается в вектор единичной нормали в этой точке.
Технические утверждения
  • Теорема Мёнье — даёт выражение для кривизны кривой, лежащей на поверхности.

Фундаментальные теоремыПравить

  • Лемма Гаусса о геодезических — утверждает, что любая достаточно малая окружность с центром в точке поверхности перпендикулярна каждой геодезической кривой из центра. Используется в доказательстве того, что геодезические кривые являются локально кратчайшими кривыми. Также играет ключевую роль в доказательстве свойств нормальных и полугеодезических координат
  • Теорема об униформизации — гарантирует существование конформной параметризации данной поверхности поверхностью постоянной гауссовой кривизны.

Открытые вопросыПравить

  • Задача изометричного вложения. Остаётся открытым вопрос, любая ли абстрактно заданная поверхность допускает изометрическое вложение в евклидово пространство размерности 3. Это так называемая «уравнение Вейля»[5].
    • Результат Якобовича[6] и Позняка[7] даёт положительный ответ для вложений в 4-х мерное пространство.
    • В 1926 году Морис Жане доказал, решил задачу для аналитических метрик.
    • Теорема Александрова о вложении говорит, что любая достаточно гладкая метрика на сфере с положительной гауссовой кривизной изометрична замкнутой выпуклой поверхности в  . Аналогичный результат для аналитических метрик был получен ранее Вейлем.[8]
  • Гипотеза Каратеодори: Гипотеза утверждает, что замкнутая выпуклая трижды дифференцируемая поверхность допускает по меньшей мере две точки округления. Первой работой по этой гипотезе была работа Ганса Гамбургера в 1924, который заметил, что гипотеза следует из следующего более строгого утверждения: Полуцелый индекс расслоения главной кривизны изолированной омбилики не превосходит единицы.
  • Гипотеза Вилмора[en]. Эта гипотеза утверждает, что интеграл от квадрата средней кривизны тора, вложенного в  , должен быть ограничен снизу величиной  . Известно, что интеграл является инвариантом Мёбиуса. Гипотезу решили в 2012 Фернандо Кода Маркес и Андрк Невес[9].

ПримечанияПравить

  1. Euler, 1760.
  2. Euler, 1771.
  3. Gauss, 1902.
  4. Топоногов, с. 132.
  5. Han, Hong, 2006.
  6. Jacobowitz, 1972.
  7. Poznjak, 1973.
  8. Погорелов А. В. Изгибание выпуклых поверхностей ГИТТЛ (1951)
  9. Marques, Neves, 2014, с. 683–782.

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Qing Han, Jia-Xing Hong. Isometric Embedding of Riemannian Manifolds in Euclidean Spaces. — 2006. — ISBN 978-0-8218-4071-9.