Открыть главное меню

Дифференциальная теория Галуа — раздел математики, который изучает группы Галуа дифференциальных уравнений.

Содержание

Предпосылки и основная идеяПравить

В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как

 
 
 

Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции   станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным[источник не указан 2112 дней].

Обобщение его идей, предпринятое в начале XX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование,  . В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.

ОпределенияПравить

Для любого дифференцируемого поля   есть подполе

 

которое называется полем констант  . Для двух дифференциальных полей   и   поле   называется логарифмическим расширением  , если   является простым трансцендентным расширением   (то есть   для некоторого трансцендентного  ), так что

  для некоторого  .

Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе   как логарифм некоторого   из  , и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в  , не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений  . Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле

 

Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от   из  . Наконец,   называется элементарным дифференциальным расширением  , если имеется конечная цепочка подполей от   до  , где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

ПримерыПравить

Поле   рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа  .

Основная теоремаПравить

Предположим, что   и   — дифференциальные поля, для которых  , и   является элементарным дифференциальным расширением  . Пусть  ,   и, кроме того,   (то есть,   содержит первообразную  ). Тогда существуют  ,   такие, что

 

Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями, плюс конечное число логарифмов простых функций.

СсылкиПравить

См. такжеПравить