Дифференциальный бином

В математическом анализе дифференциальным биномом или биномиальным дифференциалом называется дифференциал вида

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа. Представляет интерес интеграл от дифференциального бинома:

СвойстваПравить

Выразимость интеграла в элементарных функцияхПравить

 
Линии, проходящие через точку (-1,0), которым принадлежат точки (m,n), где m,n — рациональные числа, удовлетворяющие второму условию интегрируемости дифференциального бинома
 
Гиперболические параболоиды, которым принадлежат точки (m,n,p), где m,n,p — рациональные числа, удовлетворяющие третьему условию интегрируемости дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома выражается в элементарных функциях только в трёх случаях:

  •   — целое число. Используется подстановка  ,   — общий знаменатель дробей   и  ;
  •   — целое число. Используется подстановка  ,   — знаменатель дроби  .
  •   — целое число. Используется подстановка  ,   — знаменатель дроби  .

Связь с бета-функцией и гипергеометрической функциейПравить

Интеграл от дифференциального бинома выражается через неполную бета-функцию:

 

где  , а также через гипергеометрическую функцию:

 

ПримерыПравить

Интеграл

 

не выражается в элементарных функциях, здесь  , и ни одно из трёх условий для m, n и p не выполнено.

В то же время интеграл

 ,

как видим, выражается в элементарных функциях, поскольку здесь  , и  , то есть является целым числом.

ИсторияПравить

Случаи выразимости дифференциального бинома в элементарных функциях были известны ещё Л. Эйлеру. Однако, невыразимость дифференциального бинома в элементарных функциях во всех остальных случаях была доказана П. Л. Чебышёвым в 1853 году[1].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. P. Tchebichef. Sur l'intégration des différentielles irrationnelles (фр.) // Journal de mathématiques pures et appliquées (англ.) : magazine. — 1853. — Vol. XVIII. — P. 87—111.

СсылкиПравить