Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию в другую функцию того же типа для каждого значения параметра . Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от в том смысле, что для целых положительных значений , представляет собой повторную первообразную функции порядка . Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году.[1] Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции.[2] Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом, который ввёл потенциал Риса.

Интеграл Римана — Лиувилля определяется как:

где  — гамма-функция, а  — произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции ,  — комплексное число в полуплоскости . Зависимость от точки отсчёта часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. конечно же является первообразной (первого порядка) функции , для целых положительных значений представляет собой первообразную порядка в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид[3]:

Данное выражение имеет смысл и при , с соответствующими ограничениями на .

Фундаментальными соотношениями остаются:

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство.[1] Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции .

СвойстваПравить

Пусть   — фиксированный ограниченный интервал. Оператор   отображает любую интегрируемую функцию   на   в функцию   на  , которая также интегрируема по теореме Фубини. Таким образом,   определяет линейный оператор на пространстве  :

 

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на  . Таким образом, верно следующее неравенство:

 

Здесь   обозначает норму в  .

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если   принадлежит  , то и   также принадлежит   и выполняется аналогичное неравенство:

 

где   — норма в пространстве   на интервале  . Таким образом,   определяет ограниченный линейный оператор из   в себя. Более того,   стремится к   в  -смысле при   вдоль вещественной оси. То есть:

 

для всех  . Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора   можно доказать поточечную сходимость   почти всюду.

Оператор   хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой  . Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа  , состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

 

конечна. Для   из   преобразование Лапласа функции   принимает особенно простую форму:

 

где  . Здесь через   обозначено преобразование Лапласа функции   и это свойство выражает тот факт, что   представляет собой Фурье-мультипликатор.

Дробные производныеПравить

Можно также определить производные дробного порядка от функции  :

 

где через   обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

 

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Lizorkin, P.I. (2001), Fractional integration and differentiation, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  2. Brychkov, Yu.A. & Prudnikov, A.P. (2001), Euler transformation, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. Miller & Ross, 1993, p. 21

СсылкиПравить