Диэдральная группа
Диэдральная группа (группа диэдра) — группа симметрии правильного многоугольника, включающая как вращения, так и осевые симметрии[1]. Диэдральные группы являются простейшими примерами конечных групп и играют важную роль в теории групп, геометрии и химии. Хорошо известно и совершенно тривиально проверяется, что группа, образованная двумя инволюциями с конечным числом элементов в области определения является диэдральной группой.
ОбозначенияПравить
Имеется два основных вида записи диэдральной группы, связанной с n-сторонним многоугольником. В геометрии группа записывается как Dn, в то время как в общей алгебре та же самая группа обозначается как D2n, используя в качестве индекса число элементов в группе. Имеется также нотация Коксетера, в которой осевая симметрия обозначается как [n] (порядка 2n), и вращения как [n]+ (порядка n). Ещё одна запись — нотация орбиобразия, в которой осевая симметрия обозначается как *nn, а вращения — как n.
В этой статье Dn (или, иногда, Dihn) относится к симметриям правильного n-угольника.
ОпределениеПравить
ЭлементыПравить
Правильный n-угольник имеет 2n различных симметрий: n поворотов и n осевых отражений, образующих диэдральную группу Dn. Если n нечетно, каждая ось симметрии проходит через середину одной из сторон и противоположную вершину. Если n четно, имеется n/2 осей симметрии, соединяющих середины противоположных сторон и n/2 осей, соединяющих противоположные вершины. В любом случае, имеется n осей симметрии и 2n элементов в группе симметрий. Отражение относительно одной оси, а затем относительно другой, приводит к вращению на удвоенный угол между осями. Изображения ниже показывают результат действия элемента D8 на дорожный знак Стоп:
Первая строка показывает восемь вращений, а вторая — восемь отражений.
Структура группыПравить
Как и для любого другого геометрического объекта, композиция двух симметрий правильного многоугольника снова будет симметрией. Таким образом, симметрии правильного многоугольника образуют конечную группу.
Таблица Кэли показывает эффект композиции в группе D3 (симметрии правильного треугольника). R0 обозначает тождественное преобразование, R1 и R2 означает вращение против часовой стрелки на 120 и 240 градусов, S0, S1, и S2 означают отражение относительно осей, показанных на рисунке справа.
R0 | R1 | R2 | S0 | S1 | S2 | |
---|---|---|---|---|---|---|
R0 | R0 | R1 | R2 | S0 | S1 | S2 |
R1 | R1 | R2 | R0 | S1 | S2 | S0 |
R2 | R2 | R0 | R1 | S2 | S0 | S1 |
S0 | S0 | S2 | S1 | R0 | R2 | R1 |
S1 | S1 | S0 | S2 | R1 | R0 | R2 |
S2 | S2 | S1 | S0 | R2 | R1 | R0 |
Например, S2S1 = R1, поскольку отражение S1, а затем отражение S2 дают поворот на 120 градусов. Обратите внимание на то, что композиция не коммутативна.
В общем случае, группа Dn имеет элементы R0,…,Rn−1 и S0,…,Sn−1, и композицию (операцию над элементами), которая задается формулой:
Во всех случаях сложение и вычитание индексов должно выполняться с использованием вычетов по модулю n.
Матричное представлениеПравить
Если расположить центр правильного многоугольника в начале координат, элементы диэдральной группы работают как линейное отображение плоскости. Это позволяет нам представить элементы Dn как матрицы, с Умножение матриц в качестве операции композиции. Пример 2-мерного представления группы.
В качестве примера, элементы группы D4 можно представить как 8 следующих матриц:
В общем случае, матрицы для элементов Dn имеют следующий вид:
Rk — это матрица поворота против часовой стрелки на угол 2πk ⁄ n, а Sk — отражение относительно оси, имеющей угол πk ⁄ n к оси X.
Маленькие диэдральные группыПравить
Для n = 1 получим Dih1. Это обозначение используется редко, разве что для обозначении в последовательности других групп, поскольку группа эквивалентна Z2.
Для n = 2 получим Dih2 четверную группу Клейна. Оба случая являются исключениями в серии:
- Они абелевы, для всех остальных n группа Dihn не абелева.
- Они не являются подгруппами симметрической группы Sn, поскольку 2n > n! для этих n.
граф циклов диэдральных групп состоит из одного цикла длины n и n циклов длины 2. Темные вершины графа циклов ниже показывают тождественное преобразование, белые — остальные элементы группы. Цикл состоит из последовательных степеней остальных элементов.
|
Диэдральная группа как группа симметрии в 2D и группа вращений в 3DПравить
Примером абстрактной группы Dihn и общепринятого пути графического представленияt является группа Dn изометрий плоскости, не двигающих начало координат. Эти группы формируют одну из двух серий дискретных групп точек на плоскости. Dn состоит из n вращений на угол, кратный 360°/n, вокруг начала координат, и отражений относительно n осей, проходящих через центр координат и углом к остальным осям, кратным 180°/n. Эти точки представляют группу симметрии правильного многоугольника с n сторонами (для n ≥ 3).
Диэдральная группа Dn is порождается вращением r порядка n и отражением s порядка 2, такими что
В терминах геометрии: зеркальное отражение вращения выглядит как обратное вращение.
В терминах комплексных чисел: умножением на и сопряжением.
В терминах матриц: задав
и определив и для мы можем записать правила образования Dn как
(Сравните Матрица поворота.)
Диэдральная группа D2 порождается вращением r на 180 градусов, и симметрией s относительно оси X. Элементы D2 можно представить как {e, r, s, rs}, где e — тождественное преобразование и rs — симметрия относительно оси 'Y.
D2 изоморфна четверной группе Клейна.
Для n>2 операции вращения и отражения относительно прямой не коммутативны и Dn не является абелевой. Например, в D4, вращение 90 градусов, а затем отражение дает совсем другой результат, нежели отражение, а затем вращение.
Таким образом, наряду с очевидным приложением к проблемам симметрии на плоскости, эти группы служат простейшими примерами неабелевых групп, и часто используются как контрпримеры для теорем, ограниченных абелевыми группами.
2n элементов Dn можно записать как e, r, r2, …, rn−1, s, r s, r2 s, …, rn−1 s. Первые n перечисленных элементов являются вращениями, остальные n — отражения относительно осей (все они имеют порядок 2). Результатом двух вращений или двух отражений будет вращение Результат вращения и отражения будет отражением.
Таким образом, мы установили, что Dn является подгруппой O(2).
Однако, обозначение Dn используется для подгрупп SO(3), которые тоже являются группами типа Dihn: группа симметрии многоугольника, вложенного в трехмерное пространство (если n ≥ 3). Такие фигуры можно понимать как вырожденные тела (отсюда и название диэдрон (dihedron').
Примеры симметрии двумерных диэдраловПравить
2D D24 – Ашока Чакра - символ на флаге Индии.
Эквивалентные определенияПравить
Следующие определения Dihn эквивалентны:
- Группа автоморфизма графа состоящего только из цикла с n вершинами (если n ≥ 3).
- Группа с представлением
- или
- Из второго представления следует, что Dihn принадлежит к классу групп Коксетера.
СвойстваПравить
Свойства диэдральных групп Dihn с n ≥ 3 зависят от четности n. Например, центр группы Dihn состоит только из тождества при нечетном n, и из двух элементов при четном, а именно, из тождества и rn / 2
Для нечетных n, абстрактная группа Dih2n изоморфна прямому произведению Dihn и Z2.
Если m делит n, то Dihn имеет n / m подгрупп вида Dihm, и одну подгруппу Zm. Таким образом, полное число подгрупп группы Dihn (n ≥ 1), равно d(n) + σ(n), где d(n) — число натуральных делителей n и σ(n) — сумма натуральных делителей n.
Сопряженность классов отраженийПравить
Все отражения попарно сопряжены в случае нечетного n, но распадаются на два класса сопряженности при четном n. В терминах изоморфизма правильных n-угольников: для нечетных n любую пару отражений можно представить как вращения, в то время как для четных n только половина отражений может быть получена из некоторого отражения поворотами. С геометрической точки зрения, в нечетном многоугольнике каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны, а в четном имеется два набора осей, каждый набор соответствует своему классу сопряженности — оси, проходящие через вершины и оси, проходящие через середины сторон.
Алгебраически, это представители сопряженных элементов из теоремы Силова: для нечетных n любое отражение вместе с тождественным элементом образует подгруппу порядка 2, являющуюся силовской 2-подгруппой ( — максимальная степень двойки, делящая ), в то время как для четных n, эти подгруппы 2-го порядка не являются силовскими, поскольку 4 (наибольшая степень двойки) делит порядок группы.
Для четного n вместо этого имеется внешний автоморфизм, переставляющий два типа отражений.
Группы автоморфизмовПравить
Автоморфизм группы Dihn изоморфен аффинной группе Aff(Z/nZ) и имеет порядок , где — функция Эйлера, равная количеству натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с ним.
Это можно понять в терминах генератора отражений и элементарных вращений (вращений на , для k взаимно-простого с n). Какой автоморфизм будет внутренним, а какой внешним, зависит от четности n.
- Для нечетного n диэдральная группа не имеет центра, так что любой элемент определяет нетривиальный внутренний автоморфизм. Для четного n вращение на 180° (отражение относительно центра координат) является нетривиальным элементом центра.
- Таким образом, для нечетного n, внутренняя группа автоморфизма имеет порядок 2n, а для четного — порядок n.
- Для нечетного n, все отражения являются сопряженными, для четного, они распадаются на два класса (те, которые проходят через две вершины, и те, которые проходят через середины сторон), и эти два класса связаны с внешним автоморфизмом, который можно представить как вращение на (половину угла минимального вращения).
- Вращения дают нормальную подгруппу. Сопряжение отражения меняет знак (направление) вращения, но в остальном их не меняют. Автоморфизм, умножающий углы на k (взамнопростое с n) является внешним, если только не
Примеры автоморфизма группПравить
Dih9 имеет 18 внутренних автоморфизмов. Как группа изометрий двумерного пространства, D9 имеет отражения с интервалом 20°. 18 внутренних автоморфизмов обеспечивают вращения отражений на число, кратное 20°, и отражения. Как группы изометрии они все являются аутоморфизмами. Имеется ещё, вдобавок, 36 внешних автоморфизмов, например, умножая угол вращения на 2.
ОбобщенияПравить
Имеется несколько важных обобщений диэдральных групп:
- Бесконечная диэдральная группа — это бесконечная группа с алгебраической структурой, похожей на структуру конечных диэдральных групп. Её можно рассматривать как группу симметрий целых чисел.
- Ортогональная группа O(2), то есть группа симметрии круга, имеет свойства, похожие на свойства конечных диэдральных групп
- Семейство обобщенных диэдральных групп включает вышеприведенные расширения, как и многие другие.
- Квазиэдральные группы — это семейство конечных групп со свойствами, похожими на свойства конечных диэдральных групп.
См. такжеПравить
ПримечанияПравить
- ↑ Dummit, David S. Abstract Algebra / David S. Dummit, Richard M. Foote. — 3rd. — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 0-471-43334-9.
СсылкиПравить
- Dihedral Group n of Order 2n by Shawn Dudzik, Wolfram Demonstrations Project.
- Dihedral group at Groupprops
- Miller W., Symmetry Groups and Their Applications. Academic Press, 1972.
- Узоры симметрии = Patterns of Symmetry / Под ред. М. Сенешаль, Дж. Флека. — М.: Мир, 1980. — 271 с.
- Аминов Л. К. Теория симметрии (конспекты лекций и задачи). — М.: Мн-т компьютерных исследований, 2002. — 192 с.
- Вейль Г. Симметрия = Symmetry. — М.: Наука, 1968. — 152 с.
- Вигнер Е. Этюды о симметрии = Symmetries and Reflections: Scientific Essays. — М.: Мир, 1971. — 320 с.
- Голод П. И., Климык А. У. Математические основ теории симметрий = Математичні основи теорії симетрій. — Ижевск: РХД, 2001. — 528 с.
- Поклонский Н. А. Точечные группы симметрии: Учеб. Пособие — Мн.: БГУ, 2003. — ISBN 985-445-965-9
- Смирнов Е. Ю. Группы отражений и правильные многогранники. — М.: МЦНМО, 2009. — 48 с. — ISBN 978-5-94057-525-2
- Фларри Р. Группы симметрии: Теория и химические приложения = Symmetry Groups: Theory and Chemical Applications. — М.: Мир, 1983. — 400 с.
Для улучшения этой статьи по математике желательно: |