Доверительный интервал для математического ожидания нормальной выборки

Случай известной дисперсииПравить

Пусть  независимая выборка из нормального распределения, где   — известная дисперсия. Определим произвольное   и построим доверительный интервал для неизвестного среднего  .

Утверждение. Случайная величина

 

имеет стандартное нормальное распределение  . Пусть   -квантиль стандартного нормального распределения. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

 .

После подстановки выражения для   и несложных алгебраических преобразований получаем:

 .

Случай неизвестной дисперсииПравить

Пусть   — независимая выборка из нормального распределения, где   — неизвестные константы. Построим доверительный интервал для неизвестного среднего  .

Утверждение. Случайная величина

 ,

имеет распределение Стьюдента с   степенями свободы  , где   — несмещённое выборочное стандартное отклонение. Пусть   -квантили распределения Стьюдента. Тогда в силу симметрии последнего имеем:

 .

После подстановки выражения для   и несложных алгебраических преобразований получаем:

 .