Погрешность измерения

(перенаправлено с «Допустимая погрешность»)

Погре́шность измере́ния — отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения. Погрешность измерения является характеристикой точности измерения.

Выяснить с абсолютной точностью истинное значение измеряемой величины, как правило, невозможно, поэтому невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения. (В ряде источников, например в Большой советской энциклопедии, термины ошибка измерения и погрешность измерения используются как синонимы, но, согласно рекомендации РМГ 29-99, термин ошибка измерения не рекомендуется применять как менее удачный, а РМГ 29-2013 его вообще не упоминает[1]). Возможно лишь оценить величину этого отклонения, например, при помощи статистических методов. На практике вместо истинного значения используют действительное значение величины хд, то есть значение физической величины, полученное экспериментальным путём и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него[1]. Такое значение, обычно, вычисляется как среднестатистическое значение, полученное при статистической обработке результатов серии измерений. Это полученное значение не является точным, а лишь наиболее вероятным. Поэтому при записи результатов измерений необходимо указывать, какова их точность. Например, запись T = 2,8 ± 0,1 с; P=0,95 означает, что истинное значение величины T лежит в интервале от 2,7 с до 2,9 с с доверительной вероятностью 95 %.

Количественная оценка величины погрешности измерения — «сомнение в измеряемой величине» — приводит к понятию неопределенности измерения. В то же время иногда, особенно в физике, термин «погрешность измерения» (англ. measurement error) используется как синоним термина «неопределённость измерения» (англ. measurement uncertainty)[2].

Классификация погрешностей измеренийПравить

По способу выраженияПравить

Абсолютная погрешность[3]
Абсолютной называют погрешность, выраженную в единицах измеряемой величины. Её можно описать формулой   Вместо истинного значения измеряемой величины, на практике пользуются действительным значением   которое достаточно близко к истинному, определяется экспериментальным путем и в конкретной задаче может приниматься вместо него. Из-за того что истинное значение величины всегда неизвестно, можно лишь оценить границы, в которых лежит погрешность, с некоторой вероятностью. Такая оценка выполняется методами математической статистики[4].
Относительная погрешность[3]
Относительная погрешность выражается отношением   Относительная погрешность является безразмерной величиной; её численное значение может указываться, например, в процентах.

По источнику возникновенияПравить

Инструментальная погрешность[5]
Эта погрешность определяется несовершенством прибора, возникающим, например, вследствие расхождения его реальной функции преобразования от калибровочной зависимости.
Методическая погрешность[5]
Методической называют погрешность, обусловленную несовершенством метода измерений. К таким можно отнести погрешности от неадекватности принятой модели объекта от реального объекта или от неточности расчётных формул.
Субъективная погрешность[5]
Субъективной является погрешность, обусловленная ограничениями человека, как оператора при проведении измерений. Проявляется, например, в неточностях при отсчете показаний со шкалы прибора.

По характеру проявленияПравить

Случайная погрешность
Это составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом в серии повторных измерений одной и той же величины, проведенных в одних и тех же условиях. В появлении таких погрешностей не наблюдается какой-либо закономерности, они обнаруживаются при повторных измерениях одной и той же величины в виде некоторого разброса получаемых результатов. Случайные погрешности неизбежны, неустранимы и всегда присутствуют в результате измерения, однако их влияние обычно можно устранить статистической обработкой. Описание случайных погрешностей возможно только на основе теории случайных процессов и математической статистики.

Математически случайную погрешность, как правило, можно представить белым шумом: как непрерывную случайную величину, симметричную относительно нуля, независимо реализующуюся в каждом измерении (некоррелированную по времени).

Основным свойством случайной погрешности является возможность уменьшения искажения искомой величины путём усреднения данных. Уточнение оценки искомой величины при увеличении количества измерений (повторных экспериментов) означает, что среднее случайной погрешности при увеличении объёма данных стремится к 0 (закон больших чисел).

Часто случайные погрешности возникают из-за одновременного действия многих независимых причин, каждая из которых в отдельности слабо влияет на результат измерения. По этой причине часто полагают распределение случайной погрешности «нормальным» (см. Центральная предельная теорема). «Нормальность» позволяет использовать в обработке данных весь арсенал математической статистики.

Однако априорная убежденность в «нормальности» на основании Центральной предельной теоремы не согласуется с практикой — законы распределения ошибок измерений весьма разнообразны и, как правило, сильно отличаются от нормального.

Случайные погрешности могут быть связаны с несовершенством приборов (трение в механических приборах и т. п.), тряской в городских условиях, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра тонкой проволоки, которая может иметь не совсем круглое сечение в результате несовершенства процесса изготовления).

Систематическая погрешность
Это погрешность, изменяющаяся во времени по определённому закону (частным случаем является постоянная погрешность, не изменяющаяся с течением времени). Систематические погрешности могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, калибровка и т. п.), неучтёнными экспериментатором.

Систематическую ошибку нельзя устранить повторными измерениями. Её устраняют либо с помощью поправок, либо «улучшением» эксперимента.

Деление погрешностей на случайные и систематические достаточно условно. Например, ошибка округления при определённых условиях может носить характер как случайной, так и систематической ошибки.

Оценка погрешности при прямых измеренияхПравить

При прямых измерениях искомая величина определяется непосредственно по отсчетному устройству (шкале) средства измерения. В общем случае измерения проводятся по определённому методу и при помощи некоторых средств измерений. Эти компоненты несовершенны и вносят свой вклад в погрешность измерения[6]. Если тем или иным путём погрешность измерения (с конкретным знаком) удаётся найти, то она представляет собой поправку, которую просто исключают из результата. Однако достичь абсолютно точного результата измерения невозможно, и всегда остаётся некоторая «неопределённость», которую можно обозначить оценив границы погрешности[7]. В России методики оценки погрешности при прямых измерениях стандартизированы ГОСТ Р 8.736-2011[8] и Р 50.2.038-2004[9].

В зависимости от имеющихся исходных данных и свойств оцениваемых погрешностей используют различные способы оценки. Случайная погрешность, как правило, подчиняется закону нормального распределения для описания которого необходимо указать математическое ожидание   и среднеквадратическое отклонение   В связи с тем, что при измерении проводится ограниченное число наблюдений, находят только наилучшие оценки этих величин: среднее арифметическое результатов наблюдений   и среднеквадратическое отклонение среднего арифметического  [10][8]:

 ;  

Доверительные границы   полученной таким образом оценки погрешности определяются умножением среднеквадратического отклонения на коэффициент Стьюдента   выбранный для заданной доверительной вероятности  

 

Систематические погрешности в силу своего определения не могут быть оценены путем проведения многократных измерений[11]. Для составляющих систематической погрешности, обусловленной несовершенством средств измерений, как правило известны только их границы, представленные, например, основной погрешностью средства измерения[12].

Итоговая оценка границ погрешности получается суммированием вышеприведённых «элементарных» составляющих, которые рассматриваются как случайные величины. Эта задача может быть математически решена при известных функциях распределений этих случайных величин. Однако, в случае систематической погрешности, такая функция как правило неизвестна и форму распределения этой погрешности задают как равномерную[13]. Основная трудность заключается в необходимости построения многомерного закона распределения суммы погрешностей, что практически невозможно уже при 3—4 составляющих. Поэтому используются приближённые формулы[14].

Суммарную неисключённую систематическую погрешность, когда она состоит из нескольких   компонентов, определяют по следующим формулам[8]:

  (если  );
  (если  ),
где коэффициент   для доверительной вероятности   равен 1,1.

Суммарная погрешность измерения, определяемая случайной и систематической составляющей, оценивается как[15][8]:

  или  ,
где   или  

Окончательный результат измерения записывается как[16][8][17][18]   где   — результат измерения ( )   — доверительные границы суммарной погрешности,   — доверительная вероятность.

Оценка погрешности при косвенных измеренияхПравить

При косвенных измерениях искомая величина не измеряется непосредственно, вместо этого она вычисляется по известной функциональной зависимости (формуле) от величин (аргументов), получаемых прямыми измерениями. Математически строго разработана методика проведения таких измерений при линейной зависимости[19]. При нелинейной зависимости применяются методы линеаризации или приведения. В России методика расчета погрешности при косвенных измерениях стандартизирована в МИ 2083-90[18].

Погрешность измерения и принцип неопределенности ГейзенбергаПравить

Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности одновременного определения пары наблюдаемых физических величин, характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и магнитного поля). Таким образом, из аксиом квантовой механики следует принципиальная невозможность одновременного определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот факт накладывает серьёзные ограничения на применимость понятия «истинное значение физической величины»[источник не указан 264 дня].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Рекомендации по межгосударственной сертификации 29-2013. ГСИ. Метрология. Основные термины и определения.
  2. Olive K. A. et al. (Particle Data Group). 38. Statistics. — В: 2014 Review of Particle Physics // Chin. Phys. C. — 2014. — Vol. 38. — P. 090001.
  3. 1 2 Фридман, 2008, с. 42.
  4. Фридман, 2008, с. 41.
  5. 1 2 3 Фридман, 2008, с. 43.
  6. Рабинович, 1978, p. 19.
  7. Рабинович, 1978, p. 22.
  8. 1 2 3 4 5 ГОСТ Р 8.736-2011 ГСИ. Измерения прямые многократные. Методы обработки результатов измерений. Основные положения / ВНИИМ. — 2011.
  9. Р 50.2.038-2004 ГСИ. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений.
  10. Рабинович, 1978, p. 61.
  11. Фридман, 2008, с. 82.
  12. Рабинович, 1978, p. 90.
  13. Рабинович, 1978, p. 91.
  14. Новицкий, 1991, p. 88.
  15. Рабинович, 1978, p. 112.
  16. МИ 1317-2004 ГСИ. Рекомендация. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров / ВНИИМС. — Москва, 2004. — 53 с.
  17. Р 50.2.038-2004 Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределенности результата измерений / ВНИИМ. — 2011. — 11 с.
  18. 1 2 МИ 2083-90 ГСИ. Измерения косвенные определение результатов измерений и оценивание их погрешностей / ВНИИМ. — 11 с.
  19. Фридман, 2008, с. 129.

ЛитератураПравить

  • Якушев А. И., Воронцов Л. Н., Федотов Н. М. Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения. — 6-е изд., перераб. и доп.. — М.: Машиностроение, 1986. — 352 с.
  • Гольдин Л. Л., Игошин Ф. Ф., Козел С. М. и др. Лабораторные занятия по физике. Учебное пособие / под ред. Гольдина Л. Л.. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. — 704 с.
  • Назаров Н. Г. Метрология. Основные понятия и математические модели. — М.: Высшая школа, 2002. — 348 с. — ISBN 5-06-004070-4.
  • Деденко Л. Г., Керженцев В. В. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента. — М.: МГУ, 1977. — 111 с. — 19 250 экз.
  • Рабинович С. Г. Погрешности измерений. — Ленинград, 1978. — 262 с.
  • Фридман А. Э. Основы метрологии. Современный курс. — Санкт-Петербург: НПО «Профессионал», 2008. — 284 с.
  • Новицкий П. В., Зограф И. А. Оценка погрешностей результатов измерений. — Л.: Энергоатомиздат, 1991. — 304 с. — ISBN 5-283-04513-7.

СсылкиПравить