Доска Гальтона

Доска́ Га́льтона (англ. Galton board, также распространены названия квинкункс, quincunx и bean machine) — устройство, изобретённое английским учёным Фрэнсисом Гальтоном (первый экземпляр изготовлен в 1873 году^[1], затем устройство было описано Гальтоном в книге Natural inheritance, изданной в 1889 году) и предназначающееся для демонстрации центральной предельной теоремы.

Устройство править

Действующий экземпляр доски Гальтона

Доска Гальтона представляет собой ящик с прозрачной передней стенкой. В заднюю стенку в шахматном порядке вбиты штырьки, образующие треугольник. Сверху в ящик через воронку (выход из которой расположен ровно посередине между левой и правой стенками) кидаются шарики. В идеальном случае сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево. Нижняя часть ящика разделена перегородками (число которых равно числу штырьков в нижнем ряду), в результате чего шарики, скатываясь на дно ящика, образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски (при достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального распределения).

Если нарисовать на задней стенке треугольник Паскаля, то можно увидеть, сколькими путями можно добраться до каждого из штырьков (чем ближе штырёк к центру, тем больше число путей).

В некоторых настольных играх, а также игровом автомате Патинко, используется доска Гальтона или схожие с ней устройства.

Доска Гальтона

Распределение шариков править

Обозначим как n общее число столкновений шарика со штырьками; как k число раз, когда шарик поворачивает направо (таким образом, он оказывается в k-м по порядку столбике). Тогда число способов, которыми он может добраться до k-го столбика, определяется биномиальным коэффициентом ${n \choose k}$ . Отсюда следует, что вероятность оказаться в k-м столбике равна ${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ , где p — вероятность поворота направо (обычно можно считать, что $p=0,5$ ). Это функция вероятности биномиального распределения, которое в соответствии с центральной предельной теоремой при достаточно большом n аппроксимирует нормальное распределение.

До и после поворота

Примечания править

↑ M. G. Bulmer. Francis Galton: pioneer of heredity and biometry (неопр.). Дата обращения: 29 сентября 2017. Архивировано 16 мая 2018 года.

Ссылки править

Видео, демонстрирующее работу устройства (англ.)
Симуляция (англ.)
Симуляция на сайте университета Джона Кэррола (англ.)
Quincunx and its relationship to normal distribution Архивная копия от 8 апреля 2008 на Wayback Machine (англ.)
Анимации (англ.)
Доска Гальтона (рус.)

[1] M. G. Bulmer. Francis Galton: pioneer of heredity and biometry (неопр.). Дата обращения: 29 сентября 2017. Архивировано 16 мая 2018 года.

[1]