Дробно-линейное преобразование

Эта статья об отображении комплексного пространства на себя; об отображении комплексного пространства на одномерное пространство см. Дробно-линейная функция.

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние, или дробно-линейное отображе́ние, — это отображение произвольного комплексного пространства на себя, которое осуществляется дробно-линейными функциями.

Это одно из обобщений дробно-линейного преобразование комплексной плоскости.

Формальное определение

Дробно-линейное преобразование — это невырожденное отображение комплексного пространства любой размерности $\mathbb {C} ^{n},$ $n\geqslant 1,$ на себя

$\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}:z\to w,$ $z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}),$

$w=(w_{1},w_{2},\dots ,w_{n})=(L_{1}(z),L_{2}(z),\dots ,L_{n}(z)),$

осуществляемое $n$ дробно-линейными функциями

$L_{k}(z)={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\cdots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1k}z_{1}+c_{2k}z_{2}+\cdots +c_{nk}z_{n}+d_{k}}},$ $k=1,2,\dots ,n,$

где $z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}$ — комплексные переменные, $a_{1k},a_{2k},\dots ,a_{nk},$ $c_{1k},c_{2k},\dots ,c_{nk},$ $b_{k},d_{k}$ — комплексные коэффициенты,

$|c_{1k}|+|c_{2k}|+\dots +|c_{nk}|+|d_{k}|>0$.

Продолжения в компактификацию

Наибольший интерес представляют те преобразования из множества всех дробно-линейных преобразований, которые можно продолжить в какую-нибудь из компактификаций комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$, то есть пополнение и замыкание его бесконечными элементами.

Обычное замыкание

При самом простом способе компактификации комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ получается пространство теории функций ${\overline {\mathbb {C} }}^{n}$.

В это пространство теории функций ${\overline {\mathbb {C} }}^{n}$ продолжаются дробно-линейные преобразования двух видов:

• все переставляющие координаты линейные преобразования;
• дробно-линейные преобразования следующего вида:

$z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\to w=(L_{1}(z_{1}),L_{2}(z_{2}),\dots ,L_{n}(z_{n})),$

где

$L_{k}(z_{k})={\frac {a_{k}z_{k}+b_{k}}{c_{k}z_{k}+d_{k}}},\,$ $k=1,2,\dots ,n,$

на комплексной плоскости $z_{k}$.

Группа дробно-линейных преобразований, которая порождается этими двумя видами преобразований, совпадает с группой $\operatorname {Aut} {\overline {\mathbb {C} }}^{n}$ всех биголоморфных автоморфизмов пространства теории функций ${\overline {\mathbb {C} }}^{n}$.

В частности, у группы $\operatorname {Aut} {\overline {\mathbb {C} }}^{n}$ имеется подгруппа $\operatorname {Aut} U^{n}$ преобразований

$L_{k}(z_{k})=e^{i\theta _{k}}{\frac {z_{k}-\alpha _{k}}{1-{\overline {\alpha _{k}}}z_{k}}},\,$ $|\alpha _{k}|<1,\,$ $\operatorname {Im} \theta _{k}=0,$

которая исчерпывает все автоморфизмы единичного поликруга

$U^{n}=\{z\in \mathbb {C} ^{n};\,|z_{j}|<1,\,j=1,2,\dots ,n\}$.

Проективное замыкание

При проективном замыкании комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$ получается комплексное проективное пространство $\mathbb {C} P^{n}$.

В это комплексное проективное пространство $\mathbb {C} P^{n}$ продолжаются дробно-линейные преобразования следующего вида:

$L_{k}(z_{k})={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\dots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\dots +c_{n}z_{n}+d}}={\frac {l_{k}(z)}{l(z)}}$.

Указанное продолжение в однородных координатах имеет следующий вид:

$(z_{0},z_{1},\dots ,z_{n})\to \left(z_{0}l\left({\frac {z}{z_{0}}}\right),z_{1}l_{1}\left({\frac {z}{z_{0}}}\right),\dots ,z_{n}l_{n}\left({\frac {z}{z_{0}}}\right)\right)$.

Представленными дробно-линейными преобразованиями исчерпывается группа $\operatorname {Aut} \mathbb {C} P^{n}$ всех биголоморфных автоморфизмов комплексного проективного пространства $\mathbb {C} P^{n}$.

В частности, рассмотрим единичный шар

$B^{n}=\{z\in \mathbb {C} ^{n};\,|z|<1\}$

комплексного пространства $\mathbb {C} ^{n}$. Все его автоморфизмы составляют подгруппу $\operatorname {Aut} B^{n}$ группы $\operatorname {Aut} \mathbb {C} P^{n}$, состоящую из всех дробно-линейных преобразований

$L_{k}(z_{k})={\frac {a_{1k}z_{1}+a_{2k}z_{2}+\dots +a_{nk}z_{n}+b_{k}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+\dots +c_{n}z_{n}+d}}={\frac {l_{k}(z)}{l(z)}}$,

коэффициенты которых удовлетворяют следующим условиям:

$a_{k1}{\bar {a}}_{l1}+a_{k2}{\bar {a}}_{l2}+\dots +a_{kn}{\bar {a}}_{ln}=c_{k}{\bar {c}}_{l},\,$ $k\neq l,$

$|a_{k1}|^{2}+|a_{k2}|^{2}+\dots +|a_{kn}|^{2}-|c_{k}|^{2}=$

$=-(|b_{1}|^{2}+|b_{2}|^{2}+\dots +|b_{n}|^{2})+|d|^{2}\neq 0,$

$k=1,2,\dots ,n.$

В этих условиях указанный шар $B^{n}$ переходит в себя, когда

$-(|b_{1}|^{2}+|b_{2}|^{2}+\dots +|b_{n}|^{2})+|d|^{2}>0$,

и, следовательно, $d\neq 0$. Тогда можно считать, что $d=1$, поскольку числитель и знаменатель дробно-линейного преобразования можно поделить на одно и то же число.

Одномерное комплексное пространство

Основная статья: Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости

Дро́бно-лине́йное преобразова́ние комплексной плоскости, — это отображение комплексной плоскости на себя:

$\mathbb {C} \to \mathbb {C} :z\to w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d}}$,

$a,b,c,d$ — постоянные, $ad-bc\neq 0$.

Дробно-линейные преобразования образуют некоммутативную группу дробно-линейных преобразований.

Дробно-линейное преобразование представляет собой следующие частные случаи:

• одномерное комплексное дробно-линейное преобразование;
• дробно-линейная функция одной комплексной переменной;
• рациональная функция первого порядка;
• одномерное комплексное преобразование Мёбиуса.

Дробно-линейное преобразование комплексной плоскости со своими многочисленными великолепными свойствами заслуживает особого изучения, поскольку оно само и различные его частные случаи по необходимости и очень разнообразно используются во многих разделах теории функций комплексного переменного.

По словам британского профессора Тристана Нидхема, обладая «обманчивой простотой», дробно-линейное преобразование составляет основу некоторых «захватывающих» современных направлений последних математических исследований. Возможное объяснение этого заключается в их тесном и в некотором роде «магическом» взаимодействии с неевклидовой геометрией. Более того, дробно-линейное преобразование также тесно взаимодействуют с теорией относительности Альберта Эйнштейна, что было использовано сэром Роджером Пенроузом.

Двумерное комплексное пространство

Обзорная статья: Биголоморфное отображение

Рассмотрим в двумерном комплексном пространстве $\mathbb {C} ^{2}$ дробно-линейное преобразование следующего вида:

$w_{1}={\frac {a_{11}z_{1}+a_{21}z_{2}+b_{1}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+d}}$, $w_{2}={\frac {a_{12}z_{1}+a_{22}z_{2}+b_{2}}{c_{1}z_{1}+c_{2}z_{2}+d}}$,

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}&b_{1}\\a_{12}&a_{22}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}&d\end{vmatrix}}\neq 0$.

Для дальнейшего изложения удобнее вложить комплексное аффинное пространство $\mathbb {C} ^{2}=\{(z_{1},\,z_{2})\}$ в комплексное проективное пространство

$\mathbb {C} P^{2}=\{(\zeta _{0}:\zeta _{1}:\zeta _{2})\}$, $\quad \zeta _{0},\zeta _{1},\zeta _{2}\in \mathbb {C}$,

$|\zeta _{0}|+|\zeta _{1}|+|\zeta _{2}|\neq 0$,

$(\zeta _{0}:\zeta _{1}:\zeta _{2})\sim (\lambda \zeta _{0}:\lambda \zeta _{1}:\lambda \zeta _{2})$, $\quad \lambda \neq 0$.

Пусть теперь $z_{1}={\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}$, $z_{2}={\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}$ — некоторое вложение $\mathbb {C} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{2}$. Такое вложение отождествляет подмножество $(1:\zeta _{1}:\zeta _{2})\subset \mathbb {C} P^{2}$ с множеством $\mathbb {C} ^{2}$. В алгебраической терминологии это означает, что

$\mathbb {C} P^{2}=(\mathbb {C} ^{3}\setminus \{0\})/{\sim }$

и, кроме того,

$\mathbb {C} P^{2}=\mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {C} P^{1}=\mathbb {C} ^{2}\cup \mathbb {C} ^{1}\cup \{\infty \}$.

Перепишем указанной дробно-линейное преобразование в однородных координатах:

${\frac {\omega _{1}}{\omega _{0}}}={\frac {a_{11}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+a_{21}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+b_{1}}{c_{1}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+c_{2}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+d}}$, ${\frac {\omega _{2}}{\omega _{0}}}={\frac {a_{12}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+a_{22}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+b_{2}}{c_{1}{\frac {\zeta _{1}}{\zeta _{0}}}+c_{2}{\frac {\zeta _{2}}{\zeta _{0}}}+d}}$,

в матричной форме получим:

${\begin{pmatrix}\omega _{0}\\\omega _{1}\\\omega _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&c_{1}&c_{2}\\b_{1}&a_{11}&a_{21}\\b_{2}&a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta _{0}\\\zeta _{1}\\\zeta _{2}\end{pmatrix}}$,

что означает, что эти дробно-линейные преобразования образуют проективную группу $PGL_{3}(\mathbb {C} )$ комплексной размерности 8 комплексного проективного пространства $\mathbb {C} P^{2}$. Обобщая, можно сказать, что произвольное преобразование из $PGL_{n}$ определяется $(n+1)$ точкой. Индекс $n$ у группы $PGL$ — это размерность объемлющего комплексного пространства, а соответствующее проективное пространство размерности на единицу меньше.

В качестве примера построим дробно-линейное преобразование $\mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{2}\setminus \mathbb {C}$. Возьмём преобразование

$w_{1}={\frac {2z_{1}}{z_{2}+i}}$, $\quad w_{2}={\frac {z_{2}-i}{z_{2}+i}}$,

обратное ему будет

$z_{1}=-i{\frac {w_{1}}{w_{2}-1}}$, $\quad z_{2}=-i{\frac {w_{2}+1}{w_{2}-1}}$,

причём непосредственно выясняются следующие равнозначности:

$|w_{2}|<1\Leftrightarrow \operatorname {Im} z_{2}>0$,

$|w_{1}|^{2}+|w_{2}|^{2}<1\Leftrightarrow \operatorname {Im} z_{2}>|z|^{2}$,

что означает, что построено следующее преобразование:

$\mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{2}+i=0\}\leftrightarrow \mathbb {C} ^{2}\setminus \{z_{2}-1=0\}$.

Источники

• Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. Н. А. Гусевского. Под ред. С. Л. Крушкаля. М.: «Мир», 1986. 112 с., ил. [Современная математика. Вводные курсы.] [Ahlfors Lars V. Möbius Transformations in Several Dimensions. School of Mathematics, University of Minnesota, 1981.]
• Белошапка В. К. Курс лекций по комплексному анализу. М., 2005. 31 с., ил.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д. Дробно-линейная функция // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. Стб. 384.
• Долженко Е. П., Соломенцев Е. Д., Чирка Е. М. Дробно-линейное отображение // Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д—Коо. М.: «Советская Энциклопедия», 1979. 1104 стб., ил. С. 384—387.
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: «Наука», 1967. 486 с.: ил.
• Роджер Пенроуз, Вольфганг Риндлер. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ. Д. В. Гальцова и В. И. Хлебникова. М.: «Мир», 1987. 528 с, ил.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
• Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского И. Берштейна. Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 364 с., ил. [Stoilow S. Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
• Форд Р. Автоморфные функции / Пер. с англ. М. М. Гринблюма и В. С. Рабинович под ред. М. М. Гринблюма М. — Л.: Объединённое н.-т. изд-во НКТП СССР. Гл. ред. общетехнической лит-ры и номографии, 1936. 341 с., ил. [Forg Lister R. Automorphic Functions. McGraw-Hill Book Company, 1929.]
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. I, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 320 с.: ил.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «Наука», 1976. 400 с.: ил.
• Tristan Needham. Visual Complex Analysis. New York: Oxford University Press Inc., 2000. 592 p. ISBN 0198534477 (Hbk). ISBN 0198534469 (Pbk). [Тристан Нидхем. Визуальный комплексный анализ. Нью-йорк: Издательство Оксфордского университета, 2000. 592 с., ил.]