Открыть главное меню

Дробь (математика)

    числитель
числитель знаменатель знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицы[1]. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на два формата: обыкновенные вида и десятичные вида .

В записи дроби вида или число перед (над) чертой называется числителем, а число после черты (под чертой) — знаменателем. Первый играет роль делимого, второй — делителя.

Виды дробейПравить

Обыкновенные дробиПравить

 
Наглядное представление дроби 3/4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде   или   где   Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробейПравить

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

  • ½,
  • 1/2 или   (наклонная черта называется «солидус»[2]),
  • выключная формула:  ,
  • строчная формула:  .

Правильные и неправильные дробиПравить

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби  ,   и   — правильные, в то время как  ,  ,   и   — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

Смешанные дробиПравить

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например,  . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

Составные дробиПравить

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

  или   или  .

Десятичные дробиПравить

Основная статья: Десятичная дробь

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

 

Пример:  .

Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дробиПравить

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

 

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

 

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

  — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель 4.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме  

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, однако имеются исключения. Пример:

  — две разные дроби соответствуют одному числу.

Действия с дробямиПравить

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателюПравить

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби:   и  . Порядок действий:

  • Находим наименьшее общее кратное знаменателей:  .
  • Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на  .
  • Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на  .

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

СравнениеПравить

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем   и  . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

 

Следовательно,  

Сложение и вычитаниеПравить

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

  +   =   +   =  

НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь   к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
Получилось  . Приводим дробь   к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось  .
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

  —   =   —   =  

НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь   к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем  .

Умножение и делениеПравить

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

 

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

 

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

 

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

 

Например:

 

Преобразование между разными форматами записиПравить

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

 
  — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

 

История и этимология терминаПравить

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от лат. fractura, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.

Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.)[3], Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.)[4], Московский математический папирус (ок. 1850 год до н.э.), Деревянная табличка из Ахмима (англ.) (ок. 1950 год до н.э.)[5].

В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X-II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную[6]. Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин ал-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах Ал-Уклидиси, жившего на пять веков раньше[7].

Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа   записывались таким способом:   Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский)[8]. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как   или 42 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII века[8].

На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числами[8]. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

ОбобщенияПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Математическая энциклопедия, 1982.
  2. Дробная черта (Fraction bar, Solidus) — Справочник ПараТайп.
  3. The Rhind Mathematical Papyrus (англ.). British Museum. Дата обращения 13 января 2019.
  4. Clagett, Marshall. Ancient Egyptian Science: A Source Book. — Philadelphia: American Philosophical Society, 1999. — Т. 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. — С. 17–18, 25, 37–38, 255–257.
  5. William K. Simpson. An Additional Fragment from the "Hatnub" Stela // Journal of Near Eastern Studies. — 1961. — Январь (т. 20, № 1). — С. 25–30.
  6. Jean-Claude Martzloff. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.
  7. Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 978-0-691-11485-9.
  8. 1 2 3 Математика: Учеб. для 5 кл. средн. шк. / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 4-е изд. — Чебоксары : Чув. кн. изд-во, 1997. — 320 с.: ил. — С. 202—203, 230.